Question

Решить , используя вероятность. на сторонах ab и ac равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки m и n. какова вероятность того, что пло-щадь треугольника amn больше площади треугольника nbc? желательно с рисунком на системе координат

Answer 1

Пусть сторона треугольника равна $a$. Обозначим отрезок AM как $xa$, где $x\in[0;1]$ и отрезок AN как $ya$, где $y\in[0;1]$. Тогда сторона MB выразится как $(1-x)a$, а сторона NC выразится как $(1-y)a$.
Выразим площади треугольников:
$S_{AMN}= \frac{1}{2} \cdot AM\cdot AN\cdot \sin A=\frac{1}{2} \cdot xa \cdot ya \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy \\\ S_{NBC}= \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CB \cdot \sin C=\frac{1}{2} \cdot (1-y)a\cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y)$
Запишем неравенство, вероятность выполнения которого нужно найти:
$\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy\ \textgreater \ \frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y) \\\ xy\ \textgreater \ 1-y \\\ xy+y\ \textgreater \ 1 \\ y(x+1)\ \textgreater \ 1 \\\ y\ \textgreater \ \frac{1}{x+1}$
Графически это можно показать следующим образом. Всевозможные события - площадь единичного квадрата, где х и у принимают значения от 0 до 1. Благоприятные события - площадь той части этого квадрата, которая расположена выше графика функции $y= \frac{1}{x+1}$. Численно эта площадь равна искомой вероятности.
График функции $y= \frac{1}{x+1}$ получается из графика функции $y= \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево.
Искомая фигура ограничена сверху графиком функции $y=1$, снизу - графиком функции $y= \frac{1}{x+1}$, слева и справа - прямыми $x=0$ и $x=1$ соответственно. Площадь такой фигуры определяется определенным интегралом $\int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx$.
Вычисляем:
$P(S_{AMN}\ \textgreater \ S_{NBC})= \int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx= (x- \ln|x+1|)|_0^1= \\\ =(1-\ln(1+1))-(0-\ln(0+1))=1-\ln2$
ответ: 1-ln2