Случайным образом выбираются три различные вершины шестиугольной призмы. какова вероятность того, что плоскость, проходящая через эти три вершины, содержит какие-либо точки строго внутри призмы? ответ округлите до сотых.
Решение 1: Плоскость не будет содержать внутренних точек, если все три точки принадлежать одной грани - основанию или боковой. Три точки будут лежать в основании с вероятностью 1 * 5/11 * 4/10 = 2/11 (первая точка задаёт основание, для второй точки подойдёт 5 из 11 оставшихся точек, третьей - 4 из 10) Если точки лежат не в плоскости одного из оснований (вероятность 9/11), то две точки лежат в плоскости одного (для определённости - верхнего) основания, а одна - в плоскости нижнего основания. В верхнем основании должны быть выбраны соседние вершины (вероятность 2/5: если первая точка выбрана, то для второй осталось 5 мест, из которых 2 - рядом с первой). В нижнем основании должна быть выбрана точка под одной из выбранных в верхнем основании, вероятность 2/6. Итого вероятность, что плоскость не содержит внутренних точек, равна 2/11 + 9/11 * 2/5 * 1/3 = 16/55. Вероятность искомого события = 1 - 16/55 = 39/55 ≈ 0.71.
Решение 2: Всего у 6-угольной призмы 12 вершин, выбрать 3 вершины можно Пусть нам не повезло, плоскость, проходящая через вершины, не содержит внутренних точек. Значит, все три вершины были на одной грани. Если это боковая грань (четырёхугольная), то три точки можно выбрать Всего таких граней 6, что даёт Если это основание (шестиугольное), то три точки можно выбрать Таких оснований 2, и это даёт Не везёт с вероятностью (24 + 40)/220 = 16/55, поэтому повезёт с вероятностью 39/55 ≈ 0.71
ПРОСТИЛА УБИЙЦУ СВОЕГО МУЖА. 5 февраля 1905 года Сергей Александрович был убит бомбой, брошенной террористом Иваном Каляевым. Когда Елизавета Федоровна прибыла к месту взрыва, там уже собралась толпа. Кто-то попытался помешать ей подойти к останкам супруга, но она своими руками собрала на носилки разбросанные взрывом куски тела мужа. На третий день после смерти мужа Елизавета Федоровна поехала в тюрьму, где содержался убийца. Каляев сказал: «Я не хотел убивать вас, я видел его несколько раз и то время, когда имел бомбу наготове, но вы были с ним, и я не решился его тронуть». «И вы не сообразили того, что вы убили меня вместе с ним?», - ответила она. Далее Елизавета сказала, что принесла прощение от Сергея Александровича и просила его покаяться. Но он отказался. Все же Елизавета Федоровна оставила в камере Евангелие и маленькую иконку, надеясь на чудо. Выходя из тюрьмы, она сказала: «Моя попытка оказалась безрезультатной, хотя, кто знает, возможно, что в последнюю минуту он осознает свой грех и раскается в нем». Великая княгиня просила императора Николая II о помиловании Каляева, но это было отклонено.
Площадь основания a^2; диагональ основания a*корень(2). Это - основание треугольника, который - диагональное сечение. Треугольник этот равнобедренный (боковые стороны - ребра пирамиды). Высота этого треугольника, проведенная к основанию - это высота пирамиды. Обозначим ее Н. Получаем а^2 = Н*a*корень(2)/2; получается, что Н тоже равно a*корень(2). Теперь надо найти апофемы боковых граней. Выберем какую-то сторону основания и проведем в боковой грани, её содержащей, апофему. Проекция этой апофемы перпендикулярна этой стороне, потому что лежит в плоскости, которая перпендикулярна этой стороне - а именно, плоскости, в которой лежат апофема и высота пирамиды (каждая из этих прямых перпендикулярна этой стороне). Следовательно, апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованной высотой пирамиды и отрезком, выходящим из центра квадрата в основании и препендикулярным стороне. Такой отрезок, очевидно, равен а/2. Легко сосчитать, что апофема m равна m = a*корень(2 + 1/4) = a*корень(9/4) = а*3/2. Площадь боковой грани составит m*a/2 = a^2*3/4, всего боковых граней 4. ответ. Боковая поверхность равна 3*a^2
Плоскость не будет содержать внутренних точек, если все три точки принадлежать одной грани - основанию или боковой.
Три точки будут лежать в основании с вероятностью 1 * 5/11 * 4/10 = 2/11 (первая точка задаёт основание, для второй точки подойдёт 5 из 11 оставшихся точек, третьей - 4 из 10)
Если точки лежат не в плоскости одного из оснований (вероятность 9/11), то две точки лежат в плоскости одного (для определённости - верхнего) основания, а одна - в плоскости нижнего основания. В верхнем основании должны быть выбраны соседние вершины (вероятность 2/5: если первая точка выбрана, то для второй осталось 5 мест, из которых 2 - рядом с первой). В нижнем основании должна быть выбрана точка под одной из выбранных в верхнем основании, вероятность 2/6.
Итого вероятность, что плоскость не содержит внутренних точек, равна 2/11 + 9/11 * 2/5 * 1/3 = 16/55.
Вероятность искомого события = 1 - 16/55 = 39/55 ≈ 0.71.
Решение 2:
Всего у 6-угольной призмы 12 вершин, выбрать 3 вершины можно
Пусть нам не повезло, плоскость, проходящая через вершины, не содержит внутренних точек. Значит, все три вершины были на одной грани.
Если это боковая грань (четырёхугольная), то три точки можно выбрать Всего таких граней 6, что даёт
Если это основание (шестиугольное), то три точки можно выбрать
Не везёт с вероятностью (24 + 40)/220 = 16/55, поэтому повезёт с вероятностью 39/55 ≈ 0.71