Question

Решить интеграл приемом интегрирования тригонометрических выражений (подробнее )

Answer 1

В первом примере универсальная тригонометрическая подстановка$\displaystyle \int\limits { \frac{1}{4\cos x+3\sin x-1} } \, dx =\bigg\{tg \frac{x}{2} =u;\,\,\, \sin x= \frac{2u}{u^2+1} ;\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{u^2+1} \bigg\}=$

$\displaystyle = \int\limits { \frac{2}{(u^2+1)( \frac{6u}{u^2+1}+ \frac{4(1-u^2)}{u^2+1}-1) } } \, du=\int\limits { \frac{2}{6u-5u^2+3} } \, du=$
Выделим полный квадрат.
$\displaystyle =\int\limits { \frac{2}{-( \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } )+ \frac{24}{5} } } \, du=\bigg\{ \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } =t;\,\,\, dt= \sqrt{5} du\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits { \frac{1}{ \frac{24}{5} -t^2} } \, dt= \frac{2}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{2\cdot \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } }{-t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } } \bigg|+C=\\ \\ \\$
$\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{ \sqrt{5} tg \frac{x}{2} - \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}}{- \sqrt{5} tg \frac{x}{2}+ \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}} \bigg|+C$

$\displaystyle \int\limits { \frac{2\cos(\pi/2-x)\sin^4x}{\cos^2x+1} } \, dx=\int\limits { \frac{2\sin^5x}{\cos^2x+1} } \, dx=\bigg\{u=\cos x\bigg\}=\\ \\ \\ =-2\int\limits { \frac{(1-u^2)^2}{u^2+1} } \, du=-2\int\limits {\bigg(u^2-3+ \frac{4}{u^2+1} \bigg)} \, du=\\ \\ \\ =-8arctgu-2\cdot \frac{u^3}{3} +6u+C=-8arctg(\cos x)-2\cdot \frac{\cos^3x}{3} +6\cos x+C$