Question

Z=9x^2+4y^2-6x-4y+3 ( study the functions on extreme) изучите функцию на экстрем ( где макс где мин ) вроде как

Answer 1

$z(x,y)=9x^2+4y^2-6x-4y+3$
Находим подозрительные на экстремум точки. По необходимому условию экстремума, приравниваем первые частные производные нулю, решаем систему линейных алгебраических уравнений:
$\left \{ {{ \frac{dz}{dx}\equiv18x-6=0, } \atop { \frac{dz}{dy}\equiv8y-4=0, }} \right.=\ \textgreater \ \left \{ {{x= \frac{1}{3} } \atop {y= \frac{1}{2} }} \right.$
Из достаточного условия экстремума следует, что если дифф. квадратичная форма положительна, то точка является точкой минимума, если отрицательна - максимума. Составим матрицу H из вторых частных производных заданной функции и вычислим её в стационарной точке (в данном случае элементы H - константы):
$H=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial^2z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \\\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} &\frac{\partial^2z}{\partial y^2} \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 18 & 0 \\ 0 & 8 \\\end{array}\right)$
Для определения знака квадратичной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра: если все угловые миноры матрицы положительны, то квадратичная форма положительна, если у угловых миноров чередуется знак (причём первый отрицательный), то квадратичная форма отрицательна.
Первый элемент >0, определитель матрицы H >0, следовательно стационарная точка x=1/3, y=1/2 является локальным минимумом.
На изображениях представлены линии уровня и график заданной функции с точкой минимума.