а) Если нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы, то эта плоскость отсекает на осях равные отрезки.
Длину этих отрезков примем за к.
Уравнение плоскости а в "отрезках": (x/k) + (y/k) + (z/k) = 1.
Освободимся от знаменателей и получим общее уравнение плоскости "а": x + y + z - k = 0. В этом уравнении коэффициенты А = В = С = 1.
Теперь воспользуемся формулой расстояния точки от плоскости.
d = |AMx + BMy + CMz + D|/√(A² + B² + C²) и приравняем заданной величине 4.
Заданная точка - это начало координат, значения - нули.
4 = |1*0 + 1*0 + 1*0 + k|/√(1² + 1² + 1²) = k/√3.
Отсюда получаем значение свободного члена в уравнении плоскости: к = 4√3.
Получаем ответ: уравнение плоскости "а": x + y + z - 4√3 = 0.
б) Для перпендикулярности плоскостей необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов равнялось нулю.
Нормальные векторы плоскостей:
- а: (1; 1; 1),
- b: (2; -m; 4).
a x b = 2 - m + 4 = 0,
m = 6.
∫
sin
3
(
2
x
)
d
x
Пусть
u
1
=
2
x
. Тогда
d
u
1
=
2
d
x
, следовательно
1
2
d
u
1
=
d
x
. Переписать, используя
u
1
и
d
u
1
.
∫
sin
3
(
u
1
)
1
2
d
u
1
Обьединяем
sin
3
(
u
1
)
и
1
2
.
∫
sin
3
(
u
1
)
2
d
u
1
Поскольку
1
2
является константой по отношению к
u
1
, вынесем
1
2
из интеграла.
1
2
∫
sin
3
(
u
1
)
d
u
1
Выносим за скобки
sin
2
(
u
1
)
.
1
2
∫
sin
2
(
u
1
)
sin
(
u
1
)
d
u
1
Используя формулу Пифагора, запишем
sin
2
(
u
1
)
в виде
1−cos2(u1) 12∫(1−cos2(u1))sin(u1)du1
Пусть u2=cos(u1)
Тогда du2=−sin(u1)du1
следовательно
−1sin(u1)du2=du1
Переписать, используя u2
и du2.
12∫−1+u22du2
Разложим интеграл на несколько интегралов.
12(∫−1du2+∫u22du2)
Поскольку
−1
является константой по отношению к
u2
, вынесем
−1
из интеграла.
12(−u2+C+∫u22du2)
По правилу дифференцирования функции, интегралом от
u22
относительно
u2
является 13u23.12(−u2+C+13u23+C)
Упростим.
12(−u2+13u23)+C
12(−cos(2x)+13cos3(2x))+C
Упростим ответ.
−cos(2x)2+cos3(2x)6+C
Изменим порядок членов.−12cos(2x)+16cos3(2x)+C
