Попробуем доказать по индукции. 5^(5x+1) + 4^(5x+2) + 3^(5x) = 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x) При x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11. Пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1 5^(5x+5+1) + 4^(5x+5+2) + 3^(5x+5) = 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) = = 5^6*5^(5x) + 4^7*4^(5x) + 3^5*3^(5x) = 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) Вычтем из него нашу сумму 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x), которая делится на 11, и проверим, делится ли на 11 разность. 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) - 5*5^(5x) - 16*4^(5x) - 3^(5x) = = 15620*5^(5x) + 16368*4^(5x) + 242*3^(5x) = = 11*1420*5^(5x) + 11*1488*4^(5x) + 11*22*3^(5x) Все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и следующий член последовательности 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) делится на 11.
Cosβ = 5/13, 0< β<π/2 (I четверть)
найти Cos(α+β)
Решение
Cos(α+β) =Cosα*Cosβ - Sinα*Sinβ
1) Cos²α = 1 - Sin²α = 1 - 9/25 = 16/25
Cosα = -4/5
2) Sin²β = 1 - Cos²β = 1 - 25/169 = 144/169
Sinβ = 12/13
3)Cos(α+β) =Cosα*Cosβ - Sinα*Sinβ= -4/5*5/13 - (-3/5)*12/13 =
=-20/65+ 36/65 = 16/65