Первая труба наполняет пустой бассейн за 2 4/7 а вторая за 3 3/4 за сколько наполнится бассейн если - id730147820200923 от yuliya91 23.09.2020 07:35

Question

Математика: Первая труба наполняет пустой бассейн за 2 4/7 а вторая за 3 3/4 за сколько наполнится бассейн если открыть одновременно обе трубы с решением

yuliya91 · Accepted Answer

Л е м м а: Пусть S(n) -- сумма цифр числа . Тогда $S(\underbrace{99\ldots9}_{k}\cdot t) = S(\underbrace{99\ldots9}_{k}) = 9k$ , если длина не превосходит . Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.

Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число $\underbrace{99\ldots9}_{k}$ как $10^{k}-1$ , а разность $t\cdot10^{k} - t$ считаем в столбик, учитывая перенос единицы.

Теперь пусть дано число $\underbrace{11\ldots1}_{n}$ . Возьмем число $\underbrace{99\ldots9}_{n}$ , тогда его частное с первым числом равно . Умножим в таком случае $\underbrace{99\ldots9}_{n}$ на . Длина числа меньше для всех , кроме (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме $\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)$ .

Первая труба наполняет пустой бассейн за 2 4/7 а вторая за 3 3/4 за сколько наполнится бассейн если открыть одновременно обе трубы с решением

MOGZ ответил