Question

Решить неравенство : logx(log9((3^x)-9)) < 1 решить уравнение : 1) lg5+lg(x+10)=1 - lg(2x-1)+lg(21x-20) 2) log5√x-9 - log5 10 + log5√2x-1 = 0

Answer 1

Logₓ (log₉((3ˣ)-9)) < 1
ОДЗ х>0
        x≠1
        3ˣ-9> 0   ⇒ 3ˣ>9 ⇒ 3ˣ >3² ⇒ x> 2
        log₉((3ˣ)-9) >0 ⇒ (3ˣ)-9  >9⁰ ⇒(3ˣ)-9 >1 ⇒ 3ˣ>10  ⇒  x> log₃10

logₓ (log₉((3ˣ)-9)) < 1

 (log₉((3ˣ)-9)) < x¹

log₉((3ˣ)-9))< log₉9ˣ  т.к основания одинаковы имеем право записать

(3ˣ)-9 < 3²ˣ

3²ˣ-3ˣ+9  >0  замена  3ˣ=а

а²-а+9  >0

D=1-36=-35 <0  решений нет ,но заметим что графиком а²-а+9 является парабола , ветви вверх т.е условие >0 выполняется при любом а
значит выбираем ответ исходя из ОДЗ  x> log₃10
х∈(  log₃10; +∞)


lg5+lg(x+10)=1 - lg(2x-1)+lg(21x-20)  ОДЗ х>-10, x>1/2, x>20/21

lg5*(x+10)=lg10 - lg(2x-1)+lg(21x-20)

lg5*(x+10)=lg10 *(21x-20) /(2x-1)

(5x+50)=(210x-200) /(2x-1)

(5x+50)*(2x-1)=210x-200

10x²+100x-5x-50-210x+200=0

10x²-115x+150=0   | 5

2x²- 23x+30=0

D=529-240=289   √D=17

x₁=(23+17)/4=10

x₂=(23-17)/4= 1      оба корня подходят под ОДЗ



log₅√(x-9 ) - log₅ 10 + log₅√(2x-1) = 0  ОДЗ х-9>0 x>9, 2x-1>0  x>1/2

log₅√(x-9 )*√(2x-1)/10=0

√(x-9 )*√(2x-1)/10=5⁰

√(x-9 )*√(2x-1)/10 =1

√(x-9 )*√(2x-1)= 10

√((x-9 )*(2x-1)) =10  возведем обе части в квадрат

(x-9 )*(2x-1)=100

2х²-18х-х+9-100=0

2х²-19х-91=0

D=361+728=1089  √D=33

x₁=(19+33)/4=13

x₂=(19-33)/4=-14/4=- 3,5 не подходит под ОДЗ 

ответ х=13