Решение простейших тригонометрических уравнений
Пример 1. Найдите корни уравнения
\[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \]
принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).
Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):
\[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]
Арккосинус a есть число, заключенное в интервале от 0 до \pi, косинус которого равен a.
Арксинус a есть число, заключенное в интервале от -\pi до \pi, косинус которого равен a.
Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:
\[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \]
Найти НОД и НОК двух чисел:
120 и 300
Разложим числа на простые множители.
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
Т.е. мы получили, что:
120 = 2•2•2•3•5
300 = 2•2•3•5•5
Находим общие множители (они выделены цветом).
Чтобы найти НОД перемножим общие множители:
НОД(120, 300) = 2•2•3•5 = 60
Чтобы найти НОК объединяем множители и перемножаем их:
НОК(120, 300) = 2•2•2•3•5•5 = 600
Или можно воспользоваться формулой:
НОК(a, b) = (a•b)/НОД(a, b)
НОК(120, 300) = (120•300)/НОД(120, 300) = 600
НОД(120, 300) = 60
НОК(120, 300) = 600
Найти НОД и НОК двух чисел:
480 и 216
Разложим числа на простые множители.
480 2
240 2
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
Т.е. мы получили, что:
480 = 2•2•2•2•2•3•5
216 = 2•2•2•3•3•3
Находим общие множители (они выделены цветом).
Чтобы найти НОД перемножим общие множители:
НОД(480, 216) = 2•2•2•3 = 24
Чтобы найти НОК объединяем множители и перемножаем их:
НОК(480, 216) = 2•2•2•2•2•3•3•3•5 = 4320
Или можно воспользоваться формулой:
НОК(a, b) = (a•b)/НОД(a, b)
НОК(480, 216) = (480•216)/НОД(480, 216) = 4320
НОД(480, 216) = 24
НОК(480, 216) = 4320
Найти НОД и НОК двух чисел:
280 и 224
Разложим числа на простые множители.
280 2
140 2
70 2
35 5
7 7
224 2
112 2
56 2
28 2
14 2
7 7
Т.е. мы получили, что:
280 = 2•2•2•5•7
224 = 2•2•2•2•2•7
Находим общие множители (они выделены цветом).
Чтобы найти НОД перемножим общие множители:
НОД(280, 224) = 2•2•2•7 = 56
Чтобы найти НОК объединяем множители и перемножаем их:
НОК(280, 224) = 2•2•2•2•2•5•7 = 1120
Или можно воспользоваться формулой:
НОК(a, b) = (a•b)/НОД(a, b)
НОК(280, 224) = (280•224)/НОД(280, 224) = 1120
НОД(280, 224) = 56
НОК(280, 224) = 1120
Найти НОД и НОК двух чисел:
230 и 138
Разложим числа на простые множители.
230 2
115 5
23 23
138 2
69 3
23 23
Т.е. мы получили, что:
230 = 2•5•23
138 = 2•3•23
Находим общие множители (они выделены цветом).
Чтобы найти НОД перемножим общие множители:
НОД(230, 138) = 2•23 = 46
Чтобы найти НОК объединяем множители и перемножаем их:
НОК(230, 138) = 2•3•5•23 = 690
Или можно воспользоваться формулой:
НОК(a, b) = (a•b)/НОД(a, b)
НОК(230, 138) = (230•138)/НОД(230, 138) = 690
НОД(230, 138) = 46
НОК(230, 138) = 690
Пошаговое
держи
