Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:
Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:
ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.
y2 = 4x; y = 0; x = 4.
Пределы интегрирования a = 0, b = 4.
ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x
Выполним построение фигуры. Решим систему:
y2 = 4x
y = x
найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).
Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:
V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π
см. также как вычислить интеграл онлайн
ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.
Рис. 2. Объем тела вращения.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, f2(x)=x.
.
ответ: .
см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями
Пошаговое объяснение:
а) 53+у^2=102
У^2=102-53
У^2=49
у1= - 7
У2=7
б)177+х^2=124
Х^2=124-177
Х^2= - 53 не имеет корня
в) 5х^2=2,45
5х^2=49/20
Х^2=49/100
Х1= - 0,7
Х2=0,7
г)1/8р^2=10
р^2=80
р1= - 4 корень из 5
р2=4 корень из 5
2)
а) х^2+49=0
х^2= - 49 не имеет корня
б) 7у-у^3=0
у×(7-у^2)=0
у=0
7-у^2=0
у1=0
У2= - корень из 7
у3=корень из 7
в)1,2а^2=0,3
6/5×а^2=3/10
а^2=1/4
а1= - 0,5
а2=0,5
г)105-х^2=24
-х^2=24-105
-х^2= - 81
х1= - 9
х2=9
3)
а)х^2=36
х1= - 6
х2=6
б)х^2= - 16 не имеет корней, т. к степенная функция с четным натуральным показателем всегда положительная или равно нулю.
в) х^2=961
х1= - 31
Х2=31
г)х^2=0
х=0
д)х^2=64
Х1= - 8
Х2=8
е)х^2=47
Х1= - корень из 47
Х2=корень из 47
б)30/108
в) 1/5
г)6/11
д)1/3
е)1/25