31-3=28 кг яблок рассыпали по корзинам 28/7 = 4 корзины
Пусть корзин было х штук. Тогда, по корзинам рассыпали 7х кг яблок. Зная, что всего было 31 кг яблок и 3 кг яблок осталось, после того как их рассыпали по корзинам, составим уравнение: 7х + 3 = 31 7х = 31-3 7х = 28 х = 28/7 х = 4
Если полученное выражение 15k(k+2) кратно 120, то k(k+2) кратно 8.
Поскольку k=2,4,6,..., то m=k/2=1,2,3,..., в таком случае, k=2m и 2m(2m+2) кратно 8, тогда 4m(m+1) кратно 8, откуда следует, что m(m+1) кратно 2. Поскольку произведение m(m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.
Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.
Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8. Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)
Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.
Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2; Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2. Аналогично если k - чётное число.
На основании вышеизложенного приходим к выводу, что (4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.
28/7 = 4 корзины
Пусть корзин было х штук. Тогда, по корзинам рассыпали 7х кг яблок. Зная, что всего было 31 кг яблок и 3 кг яблок осталось, после того как их рассыпали по корзинам, составим уравнение:
7х + 3 = 31
7х = 31-3
7х = 28
х = 28/7
х = 4