Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
Составим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
Составим характеристическое уравнение и решим его:
Общее решение однородного уравнения:
Запишем в общем виде частное решение данного неоднородного уравнения, учитывая, что в правой части стоит произведение экспоненты и на косинус, а также то, что степень экспоненты и выражение под знаком косинуса совпадают с соответствующими выражениями, полученными при решении однородного уравнения:
Находим первую производную:
Находим вторую производную:
Подставляем в исходное уравнение:
Условие равенства левой и правой частей:
Частное решение данного неоднородного уравнения:
Общее решение данного неоднородного уравнения:
- Автомат Незнайки заполнит 1/x бутылки, там будет (x/100) * (1/x) = 1/100 сиропа.
- Автомат Пончика - 1/y бутылки, 1/100 сиропа
- Автомат Сиропчика - 1/z бутылки, 1/100 сиропа.
Все три автомата вместе нальют 1/x + 1/y + 1/z бутылки, причём сиропа там будет 3/100. По условию бутылка заполняется за 12 минут, поэтому 1/x + 1/y + 1/z = 1/12, и доля сиропа (3/100) / (1/12) = 0,36 ~ 36%