Математика: Исследование функций с производной исседовать y=-3x+x^3

Исследование функций с производной исседовать y=-3x+x^3

👇

Увидеть ответ

Ответ:

Испан1

02.02.2020

Дана функция y = x³ - 3x.
1. Область определения функции: x ∈ (-∞; ∞).

2. Точки пересечения с осью координат X.

График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: x³ - 3x = 0.

x(x² - 3) = 0. Получаем 3 корня

x₁ = 0, х₂ = √3, х₃ = -√3.

3. Точки пересечения с осью координат Y.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:

подставляем x = 0 в x³ - 3x.

0³ - 3*0 = 0.

Результат:

f(0) = 0.

Точка:

(0, 0).

4. Экстремумы функции.

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

--(f(x)) = 0

(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

--(f(x)) = 3x² - 3.

3x² - 3 = 0

Решаем это уравнение: 3(х² - 1) = 0,

Корни этого уравнения x₁ = 1 и х₂ = -1.

Значит, экстремумы в точках:

(-1, 2)

(1, -2)

5. Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

х = -2 -1 0 1 2
y' = 9 0 -3 0 9

Минимумы функции в точках: x_{2} = 1.
Максимумы функции в точках: x_{2} = -1.
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [1, oo)

Возрастает на промежутках [-1, 1]

6. Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

---(f(x)) = 0

(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,

---(f(x)) =

6х = 0.

Решаем это уравнение.

Корни этого уравнения x1 = 0.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [0, oo)
Выпуклая на промежутках (-oo, 0]

8. Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = ∞.
Значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

9. Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞
Значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞.
Значит, наклонной асимптоты справа не существует.

10. Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x^{3} - 3 x = - x^{3} + 3 x.
- Нет
x^{3} - 3 x = - -1 x^{3} - 3 x.
- Нет.
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

11. График дан в приложении.

4,6(57 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

arpine1977

02.02.2020

1) Дифференциал функции у = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной х:

dy = f '(x)dx

или

На практике достаточно найти производную и умножить её на dx. Дифференциал третьего порядка? Находим третью производную и умножаем на dx.

а) y = 3x^2-4x+5

$y' = 6x -4 \\ \\ y'' = 6 \\ \\ y''' = 0$

dy = 0*dx =0

б) y = ln3x

$y' = (ln3x)' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \\ \\ y'' = - \frac{1}{x^2} \\ \\ y''' = \frac{2}{x^3}$

$dy = \frac{2}{x^3} dx$

в) y = sin(1-2x)

$y' = -2cos(1-2x) \\ \\ y'' = -4sin(1-2x) \\ \\ y''' = 8cos(1-2x)$

dy = 8cos(1-2x)dx

2)
а) Просто подставляем х=3 и считаем:
$\lim_{x \to \inft3} \frac{2x-6}{x^3+27} = \frac{2*3-6}{3^3+27} = \frac{0}{54}=0$

б) Числитель и знаменатель делим на максимальную степень переменной икс, т.е. на x²:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-x-2}{x^2+x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} }{1+ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} } = \frac{3- \frac{1}{\infty}- \frac{2}{\infty^2} }{1+ \frac{1}{\infty}- \frac{1}{\infty^2} } = \frac{3-0-0}{1+0-0} = 3$

в) Используем формулу синус двойного угла
$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{sinx} = \lim_{x \to \inft0} \frac{2sinxcosx}{sinx} = 2 \lim_{x \to \inft0} cosx =2*1 =2$

г) используется сначала первый замечательный предел, а потом второй замечательный предел, вернее следствие из второго замечательного предела, а именно:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

$\lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{tgx} = \lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{ \frac{sinx}{cosx} } = \lim_{x \to \inft0} cosx \frac{e^x-1}{ sinx} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} cosx * \lim_{n \to \inft0} \frac{e^x-1}{ sinx} = 1 * \lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{e^x-1}{x} }{ \frac{sinx}{x} } = \\ \\ = \frac{ \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{sinx}{x} } =\frac{ \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} }{ 1} = \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} } = 1$