Y = x^4 + 2x^3 - 4 y ' = 4x^3 + 6x^2 y '' = 12x^2 + 12x = 12x(x + 1) = 0 x1 = 0; y(0) = -4 x2 = -1; y(-1) = 1 - 2 - 4 = -5 Это две точки перегиба. При x < -1 будет y '' > 0 - выгнута вниз При -1 < x < 0 будет y '' < 0 - выгнута вверх При x > 0 будет y '' > 0 - выгнута вниз
Полный дифференциал функции - это следующее выражение dz = (∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy, где dx и dy - дифференциалы переменных х и у (обычно под ними подразумеваются приращения соответствующих переменных), но для записи их оставляют в неизменном виде). Если предполодить, что в знаменателе дроби в квадрат возводится только у, то частные производные функции z(x,y) будут иметь следующий вид:
Для вычисления полного дифференциала в конкретных точках (х1; у1) и (х2; у2), следует подставить координаты этих точек в это выражение вместо х и у и найти соответствующие выражения. Но можно поступить проще - найти только частные производные в этих точках:
Непонятно, почему в вузах требуют решения столь трудоёмких механических задач. Скорее всего, задание должно звучать так: найти приближённое значение функции z(x,y) в точках (х1; у1) и (х2; у2). В этом случае задача решается проще и приятнее: ищутся полные дифференциалы функции в точках, близких к заданному.
Например, близкой к первой точке является точка (1; 1). Частные производные в ней будут иметь вид: ∂f/∂x (1;1) = 1^3 / (1 + 1^2)^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4 = 0,25 ∂f/∂y (1;1) = 1*(1 - 1^2) / (1 + 1^2)^2 = 1*0 / (1 + 1^2)^2 = 0
Тогда
dz (1;1) = 0,25dx
Вместо dx подставляем приращение ∆х = 1 - 1 = 0, т.е. dz (1;1) = 0
Приближённое значение функции z(x,y) в точке (x1, y1) отыскивается по формуле: z(x1, y1) = z(x0, y0) + dz(x0, y0), где (x0; y0) - точка, близкая к точке (х1; у1), dx = x1 - x0; dy = y1 - y0 Т.е. z(x1; y1) ≈ z(x0; y0) = z(1; 1) = 1*1 / (1 + 1^2) = 1/2 = 0,5.
Близкой к точке (2; 1,8) является точка (2; 2). Частные производные в ней будут иметь вид: ∂f/∂x (2;2) = 2^3 / (2 + 2^2)^2 = 8 / 6^2 = 8 / 36 = 2 / 9 ∂f/∂y (2;2) = 2*(2 - 2^2) / (2 + 2^2)^2 = 2*(-2) / 36 = -4 / 36 = -1 / 9
Тогда
dz (2;2) = (2 / 9)dx - (1 / 9)dy
Вместо dx и dy подставляем приращение ∆х = 2 - 2 = 0, ∆y = 2 - 1,8 = 0,2, Т.е. dz = -0,2/9 = -2/90 = -1/45
y ' = 4x^3 + 6x^2
y '' = 12x^2 + 12x = 12x(x + 1) = 0
x1 = 0; y(0) = -4
x2 = -1; y(-1) = 1 - 2 - 4 = -5
Это две точки перегиба.
При x < -1 будет y '' > 0 - выгнута вниз
При -1 < x < 0 будет y '' < 0 - выгнута вверх
При x > 0 будет y '' > 0 - выгнута вниз