Обозначим за F(n) количество n-значных чисел, состоящих из двоек и пятёрок, у которых никакие две двойки не стоят рядом. Рассмотрим F(n+2). Как можно построить (n+2)-значное число, обладающее указанным свойством? Можно взять (n+1)-значное число с таким свойством и приписать к нему пятерку (!) или взять (n+1)-значное число с таким свойством, не оканчивающееся на двойку, и приписать к нему двойку () ровно F(n). Тогда F(n+2) = F(n+1) + F(n). Так как F(1) = 2, F(2) = 3, то F(n) на самом деле (n+1)-е число Фибоначчи, тогда F(10) = 89.
Примечания. 1) Последовательность Фибоначчи задаётся соотношением Первые члены последовательности Фибоначчи (начиная с нулевого): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … 2) Почему чисел со свойством (!!) ровно F(n). Понятно, что пятерку можно приписать к любому числу с заданным свойством, т.е. если X - n-значное число с нужным свойством, то 10X+5 - (n+1)-значное число с нужным свойством. И наоборот, если 10X+5 - (n+1)-значное число с нужным свойством, то X - n-значное число с нужным свойством. Поэтому число (n+1)-значных чисел с нужным свойством, оканчивающихся на 5, равно числу n-значных чисел с нужным свойством.
Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4; б) длиной 5; в) длиной n, где n - любое натуральное число?Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность.
Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью:
Если первые два числа привести к тому же знаменателю m(m + k), то получим:
Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т.е. знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - k). Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию:
Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий.
Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица, знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k). Это произойдёт, например, при m = 3k:
Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия:
Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3:
Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения:
Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. Возьмём в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3,
пусть х-третье число, тогда второе будет1,5х , а первое 2,5х
Х+1,5Х+2,5Х=6*3
5Х=18
Х=3,6-третье число
3,6*1,5=5,4-второе число
2,5*3,6=9-первое число
вот так