Question

Найдите значение выражения: (3m^2+5mn-2n^2)/(3m^2-4mn+n^2) если известно, что m/n=3/2

Answer 1

$3n=2m=\ \textgreater \ m=1,5n\\\frac{3m^2+5mn-2n^2}{3m^2-4mn+n^2}=\frac{3m^2+6mn-mn-2n^2}{3m^2-3mn-mn+n^2}=\frac{3m(m+2n)-n(m+2n)}{3m(m-n)-n(m-n)}=\\=\frac{(3m-n)(m+2n)}{(3m-n)(m-n)}=\frac{m+2n}{m-n}=\frac{1,5n+2n}{1,5n-n}=\frac{3,5n}{0,5n}=7$

Answer 2

Замечаем, что либо m, либо n всегда отлично от 0.
Ведь если и m, и n равны 0, то знаменатель обращается в 0, а это в любом случае недопустимо - на 0 делить нельзя. А значит, что-то отлично от 0. Рассмотрим такие случаи.

1)Ни m, ни n не равны 0. Самый общий случай.
 Тогда разделим и числитель, и знаменатель на $n^{2}$.
Получаем
$\frac{3 ( \frac{m}{n} )^{2} + 5 (\frac{m}{n} ) - 2 }{3 ( \frac{m}{n} )^{2} - 4 (\frac{m}{n})+1 }$

Учитывая, что отношение m к n мы знаем, подставляем:

$\frac{3 ( \frac{3}{2} )^{2} + 5 (\frac{3}{2} ) - 2}{3 ( \frac{3}{2} )^{2} - 4( \frac{3}{2}) + 1 }$

Теперь посчитаем значение полученной дроби.

$\frac{3 (\frac{9}{4}) + \frac{15}{2} -2 }{3( \frac{9}{4} ) - 6 + 1} = \frac{ \frac{27}{4} + \frac{30}{4} - 2 }{ \frac{27}{4} - 5 } = \frac{ \frac{49}{4} }{ \frac{7}{4} } = 7$
2)Если m = 0, то у нас дробь равна -2. Советую подставить m = 0 и убедиться.
3)Если n = 0, то дробь равна 1.

Как видим, дробь при определённых условиях вполне может и не зависеть от значения заданного отношения.

ответ: или 7, или -2, или 1.