Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое не делится 11, но если заменить любую его цифру на цифру, отличающуюся на 1, то полученное число будет делится на 11. (замечание. цифра 0 от 9 отличается на 9).

Answer 1

1. Попробовав различные числа, можно сделать вывод, что число должно состоять из цифр 0 и 9, так как если при изменении какой-то определенной цифры в сторону уменьшения мы получим число, делящееся на 11, то при изменении этой же цифры в сторону увеличения полученное число очевидно на 11 делиться не будет. В случае цифр 0 и 9 они изменяются, только в одну сторону 0->1, 9->8.
2. Рассуждаем дальше.
Существует признак делимости какого-то числа на 11 и он формулируется так: чтобы число делилось на 11, разность
сумм его цифр на четных и на нечетных местах
должна делиться на 11.
3. Объединив обе идеи получаем: чтобы получить наименьшее число, нули и девятки должны чередоваться (две одинаковые цифры подряд в
разности дадут 0, поэтому две цифры подряд - это просто трата цифр) .
Разность указанных в признаке сумм составит: 9n, где n - количество девяток в числе.
Но, по условию задачи, можно изменить одну цифру: 9->8 или 0->1.
Оба эти изменения дадут разность сумм: 9n-1.
Задача: найти такое наименьшее число n, чтобы 9n-1 делилось на 11.
Методом перебора получим: n=5, 9*5-1 = 44 - делится на 11.
Теперь составим число: 909090909. Теперь понятно надеюсь