Для того, чтобы доказать равномощность двух множеств, приведем пример конструкции, в которой возможно построить взаимно однозначное соответствие. Рассмотрим два квадрата: A и B, пусть площадь квадрата A больше площади квадрата B. Поместим квадраты в пространство. Пусть A - основание четырехугольной пирамиды, а B - какое нибудь сечение, при этом плоскости квадратов параллельны. Пусть боковые ребра пирамиды пересекаются в точке S. Заметим, что для любой точки X, принадлежащей B, можно поставить в соответствие точку Y, которая является пересечением SX с плоскостью квадрата A. Причем очевидно, что пара (X, Y) единственна в том смысле, что X и Y не участвуют больше ни в каких других парах. Итак, нам удалось построить взаимно-однозначное соответствие, следовательно |A|=|B|
Площадь поверхности шара: S = 4πR², где R - радиус шара
Задача. Найти объем и площадь поверхности шара, если его радиус равен 3 см.
V = 4/3 · π · 3³ = 36π ≈ 36 · 3,14 = 113,04 (см³)
S = 4 · π · 3² = 36π ≈ 113,04 (см²)