Question

Решить систему уравнений |x^2-2x| +y =1 x^2+|y|=1

Answer 1

Модули. 
x^2 - 2x = x(x - 2) = 0; x1 = 0; x2 = 2
Если x <= 0 или x >= 2, то x^2 - 2x >= 0; |x^2 - 2x| = x^2 - 2x
Если 0 < x < 2, то x^2 - 2x < 0; |x^2 - 2x| = 2x - x^2
Если y < 0, то |y| = -y. Если y >= 0, то |y| = y.
Получаем 4 разных системы

1) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ (-oo; 0)
{ x^2 - 2x + y = 1
{ x^2 - y = 1
Приравниваем левые части
x^2 - 2x + y = x^2 - y
-2x = -2y
x = y
Подставляем во 2 уравнение
x^2 - x - 1 = 0
D = 1 - 4(-1) = 5
x1 = (1 - √5)/2 < 0 - подходит
x2 = (1 + √5)/2 > 0 - не подходит
Решение: x1 = y1 = (1 - √5)/2

2) x ∈ (0; 2); y ∈ (-oo; 0)
{ 2x - x^2 + y = 1
{ x^2 - y = 1
Выразим y в обоих уравнениях
{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
{ y = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Приравниваем правые части
(x - 1)^2 = (x - 1)(x + 1)
x1 = 1 ∈ (0; 2) - подходит; y = (x - 1)^2 = 0 - не подходит. Это НЕ решение.
x - 1 = x + 1 - решений нет.
Решений нет.

3) x ∈ (-oo; 0] U [2; +oo); y ∈ [0; +oo)
{ x^2 - 2x + y = 1
{ x^2 + y = 1
Подставляем 2 уравнение в 1 уравнение
1 - 2x = 1
x = 0 - подходит.
y = 1 - x^2 = 1 - 0 = 1 > 0 - подходит
Решение: x2 = 0; y2 = 1

4) x ∈ (0; 2); y ∈ [0; +oo)
{ 2x - x^2 + y = 1
{ x^2 + y = 1
Выразим y в обоих уравнениях
{ y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
{ y = 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(1 + x)
Приравниваем правые части
(x - 1)^2 = -(x - 1)(1 + x)
x = 1 ∈ (0; 2) - подходит, y = 1 - x^2 = 0 ∈ [0; +oo) - подходит
x - 1 = -1 - x; 2x = 0; x = 0 ∉ (0; 2) - не подходит
Решение: x3 = 1; y3 = 0

ответ: ((1 - √5)/2; (1 - √5)/2); (0; 1); (1; 0)