Question

Найдите производную ф-ции u=f(x,y,z) в точке a(x0,y0,z0) в направлении вектора a(a1,a2,a3); градиент ф-ции u=f(x,y,z) grad z в точке a(x0,y0,z0) и его длину u= , a(2; -1; 2), a=i+j-k

Answer 1

$\vec{a}=i+j-k\; \; \to \; \; \; \vec{a}=(1,1,-1)\; ,\; \; |\vec{a}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\\\\\vec{a}^0=( \frac{1}{\sqrt3} , \frac{1}{\sqrt3} ,- \frac{1}{\sqrt3} )\; \; \to \; \; cos \alpha = \frac{1}{\sqrt3} \; ,\; cos \beta = \frac{1}{\sqrt3} \; ,\; cos\gamma =-\frac{1}{\sqrt3} \\\\u= \frac{x^2-xy+y^2}{z}\; ,\; \; \; A(2,-1,2) \\\\u'_{x}= \frac{1}{z}(2x-y) \; ,\; \; u'_{y}=\frac{1}{z}(-x+2y)\; ,\; \; u'_{z}=- \frac{x^2-xy+y^2}{z^2}$

$u'_{x}(A)= \frac{5}{2}\; ,\; \; u'_{y}(A)=- \frac{4}{2}=-2\; ,\; \; u'_{z}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

$grad\, U|_{A}=u'_{x}(A)\cdot cos \alpha +u'_{y}(A)\cdot cos \beta +u'_{z}(A)\cdot cos\gamma =\\\\= \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt3} -2\cdot \frac{1}{\sqrt3} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{1}{\sqrt3})= \frac{5-4+5}{2\sqrt3} =\frac{6}{2\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$