Question

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. y"-4y'-5y = 8 cos2x+9sin2x добавлю 20

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится ко второму виду)
Нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем решение однородного уравнения
$y''-4y'-5y=0$
Воспользуемся методом Эйлера $y=e^{kx}$, и перейдем к характеристическому уравнению:
$k^2-4k-5=0$
По т. Виета:
 $k_1=5\\ k_2=-1$
Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}$

Найдем теперь частное решение
Положим $f(x)=8\cos2x+9\sin2x$
$f(x)=x^ke^{\alpha x}(P_n(x)\sin ( \beta x)+Q_n(x)\cos( \beta x))$
Где $Q_n(x),\,\, P_n(x)$ - многочлены степеней х(или полиномы)

$Q_n(x)=8;\,\,\,\, P_n(x)=9;\,\,\, \alpha=0;\,\,\, \beta=2$
Тогда частное решение будем искать в виде:
Уч.н. $=A\cos2x+B\sin2x$
Найдем первую и вторую производную
$y'=(A\cos2x+B\sin2x)'=2B\cos2x-2A\sin2x\\ \\ y''=(2B\cos2x-2A\sin2x)'=-4A\cos2x-4B\sin2x$
Подставим в исходное уравнение

$-4A\cos2x-4B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x-5A\cos2x-5B\sin2x\\ \\ =8\cos2x+9\sin2x\\ \\ -9A\cos2x-9B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x=8\cos2x+9\sin2x\\ \\ \cos2x(-9A-8B)+\sin2x(8A-9B)=8\cos2x+9\sin2x$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
$\displaystyle \left \{ {{8A-9B=9} \atop {-9A-8B=8}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=0} \atop {B=-1}} \right.$

Тогда частное решение имеет вид:

Уч.н. $=-\sin2x$

Уо.н. = $C_1e^{5x}+C_2e^{-x}-\sin2x$ - ответ.