Question

Докажите, что x€(0; п/2) справедливо неравенство cosx+sinx> 1 .

Answer 1

$cos x+sinx=\frac{\sqrt{1^2+1^2}}{\sqrt{1^2+1^2}} (cos x+sinx)=$
$\sqrt{2}*(\frac{\sqrt{2}}{2}cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}sin x)=$
$\sqrt{2}*(sin \frac{\pi}{4}cos x+cos \frac{\pi}{4}sin x)=$
$\sqrt{2}*sin(x+\frac{\pi}{4})$

при  x€(0;П/2) : х+П/4 €(П/4;3П/4) а значит на єтом промежутке
$\frac{1}{\sqrt{2}}=sin\frac{\pi}{4}$

и $sin x+cosx =\sqrt{2}*sin(x+\frac{\pi}{4})\sqrt{2}*\frac{1}{\sqrt{2}}=1$
что и нужно было доказать