Мы рассматриваем числа в десятичной системе. Это означает, что "цена" разряда - последовательные степени десятки. Например, число из примера можно расписать так:
Можно заметить, что все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, делятся на 10 (в данном случае второе с конца равно 10c, третье 100b, четвертое 1000a. Но и в общем случае ситуация, очевидно, не меняется).
Остаток от деления натурального числа x на натуральное число y - такое целое число r, 
, что найдётся целое число q, удовлетворяющее равенству 
. Иначе говоря, (x - r) должно делиться на y.
d - это натуральное число, 
, 
делится на 10, значит, d - остаток от деления исходного числа на 10.
А из того, что
следует, что после деления на 10 целая часть от деления (q в приведенных выше обозначениях) - это исходное число, но с отброшенной последней цифрой. Для этого числа всё написанное тоже выполняется, поэтому следующий остаток - c, а следующее неполное частное - исходное число без двух последних цифр. Ну и так далее, пока не получится число из одной цифры, она и будет последним остатком, дальше пойдут нули.
Если хочется немного более формального оформления, можете погyглить, что такое принцип математической индукции. По сути, описанное - как раз он, и из него следует, что доказанное утверждение справедливо не только для чисел с не более чем четырьмя цифрами, а вообще для всех натуральных чисел.
1) 147 * 29 = 4263
2) 22975 : 25 = 919
3) 4263 - 919 = 3344
4) 3344 + 56 =3400
5) 3400 : 17 = 200
(9101 + 1817) : 53 - (10601 - 919) : 47 = 0
1) 9101 + 1817 = 10918
2) 10601 - 919 = 9682
3) 10918 : 53 = 206
4) 9682 : 47 = 206
5) 206 - 206 = 0
2049 * 7 - 9659 + 18 * 105 - 6992 : 38 : 23 = 4694
1) 2049 * 7 = 14343
2) 18 * 105 = 1890
3) 6992 : 38 = 184
4) 184 : 23 = 8
5) 14343 - 9659 = 4684
6) 4684 + 18 = 4702
7) 4702 - 8 = 4694
Вроде так)