Question

Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число)

Answer 1

Натуральных делителей числа N нечетное число⇒ само число является полным квадратом (все делители числа, кроме корня из него, если оно является целым, делятся на пары "p и N/p". Последняя цифра 0⇒ число делится на 2 и 5, а раз оно полный квадрат, оно дважды делится на 2 и дважды на 5, то есть на конце у него два нуля. Это дает уже 9 делителей (1 и 100, 2 и 50, 4 и 25, 5 и 20, 10). Если бы у N был какой-нибудь простой делитель, не равный 2 или 5, это более чем удвоило бы число делителей, поскольку ко всем выписанным делителям прибавились бы они, умноженные на этот делитель (а он ведь еще и в квадрате входит в N, раз N полный квадрат  ужас!). Если же мы добавляем еще одну двойку (а значит двойку в квадрате), то делителей оказывается ровно 15: к уже выписанным добавляются 8, 16, 40, 80, 200, 400.
Если же мы добавим в N не две двойки, а две пятерки, также будем иметь 15 делителей: к 9 старым добавляются 125, 250, 500, 625, 1250, 2500.

ответ: 400 и 2500 

Замечание. Если известно, что N=p^k·q^m, где p и q - разные простые делители числа N, то всего делителей будет (k+1)(m+1), потому что в каждый делитель p может входить от 0 раз до k раз (k+1 возможность); q может входить от 0 до m раз (m+1 возможность). Учитывая это замечание, можно было задачу сделать совсем просто: 15=3·5⇒
N=p^2·q^4; поскольку N заканчивается нулем, p и q - это два и пять, поэтому N=2^2·5^4=2500 или N=5^2·2^4=400