Дана функция 1) Область определения: x ∈ R, x ≠ 3. 2) Область значений: y ∈ R, y ≤ -24, y > 0. 3) График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 2x² /(- x + 3) = 0. Решаем это уравнение. Достаточно числитель приравнять нулю. Точки пересечения с осью Ох: х = 0. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (2*x^2)/(3 - x). у = (2*0^2)/(3 - x) = 0. Точка: (0, 0). 4) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции. Первая производная равна: Достаточно числитель приравнять нулю: 2x² - 12x = 0. Решаем это уравнение: 2x(x - 6) = 0. Корни этого уравнения: х = 0 и х = 6. Значит, экстремумы в точках: (0, 0), (6, -24). 5) Интервалы возрастания и убывания функции. Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: x = -1 0 1 5 6 7 y' = -0,875 0 2,5 2,5 0 -0,875. Минимум функции в точке: х = 0. Максимум функции в точке: х = 6. Убывает на промежутках (-∞; 0), (6; +∞). Возрастает на промежутках (0; 3), (3; 6). Это с учётом того, что в точке х = 3 функция имеет разрыв. 6) Точек перегиба нет. 7) Вертикальная асимптота х = 3. Горизонтальных асимптот нет. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2)/(3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo . Значит, уравнение наклонной асимптоты слева: y = -2x - 6 . Возьмём предел, значит, уравнение наклонной асимптоты справа: y = -2x - 6. 8) Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: . - Нет. . - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Для нахождения экстремумов надо найти производную, приравнять её нулю, решить полученное уравнение и подставить значения в функцию: Производная: y' = 3x^2 - 9 = 3 (x^2 - 3) = 3 (x - √3) (x + √3) = 0 Производная обращается в нуль при x = √3 и x = -√3 В точке x = -√3 производная меняет знак с плюса на минус, здесь максимум. В точке x = √3 производная меняет знак с минуса на плюс, здесь минимум. Вычисляем значения функции в найденных точках-экстремумах: y(-√3) = (-√3)^3 - 9(-√3) = -3√3 + 9√3 = 6√3 y(√3) = (√3)^3 - 9√3 = 3√3 - 9√3 = -6√3
(производная равна нулю),
.
.
.
.
