Question

Вправильной треугольной пирамиде мавс сторона основания равна 4 корня из 3, а боковое ребро -5. найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды 2) объем пирамиды 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания 4) скалярное произведение векторов 0,5( мв+мс) еа, где е- середина вс 5) объем вписанного в пирамиду шара 6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани

Answer 1

1) площадь боковой поверхности пирамиды.
Sбок = (1/2)Р*А (Р - периметр основания, А - апофема).
Р = 3*(4√3) = 12√3.
А = √(СМ²-(ВС/2)²) = √(25-12) = √13.
 Sбок = (1/2)*(12√3)*√13 = 6√39.

2) объем пирамиды.
V = (1/3)So*H (So - площадь основания, Н - высота пирамиды).
So = a²√3/4 =  48√3/4 = 12√3.
H = √(5²-((2/3)h)²) = √(25-((2/3)*6)²) = √(25-16) = √9 = 3.
V = (1/3)*(12√3)*3) = 12√3.

3) угол α между боковым ребром и плоскостью основания.
α = arc sin(H/AM) = arc sin (3/5) =   0,643501 радиан = 36,8699°.  

4) скалярное произведение векторов 0,5( МВ+МС) ЕА, где Е- середина ВС - из за большого объёма задания этот вопрос надо рассматривать отдельно.
 
5) объем вписанного в пирамиду шара.
Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.
Высота АД основания (она же и медиана, и биссектриса) равна:
АД = a*cos30° = (4√3)*(√3/2) = 6.
Вписанный шар в этом сечении - вписанная окружность в треугольник АМД радиусом R.
R =  (abc)/(4S), где S - сечение треугольника АМД.
S = (1/2)AD*H = (1/2)6*3 = 9.
Тогда R = (5*6*√13)/(4*9) = 5√13/6 ≈  3,004626.
Объём шара Vш = (4/3)πR³ = ((4/3)π*125*13√13)/(3*216) = (π*1625√13)/162 ≈ π* 36,1668.

6) угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.
Для этого надо найти плоский угол между стороной (пусть это АС) и её проекцией на плоскость грани СМВ.
Проекция АС на АМС - это отрезок АК, Точка К лежит на апофеме АД,
Найдём длину АК: 
AK = 2S(AMD)/MД.
S(AMД) = (1/2)АД*Н = (1/2)6*3 = 9.
АК = (2*9)/(√13) = 18/(√13) ≈  4,992302.
Определим длину отрезка СК:
Для этого надо узнать длину отрезка КД:
КД = √(АД²-АК²) = √(36-(324/13)) = 12/√13 ≈  3,328201.
Тогда СК = √(СД²+КД²) = √((2√3)²+(144/13)) = 10√3/√13 ≈  4,803845.

Теперь известны все стороны треугольника АКС, чтобы определить угол АСК, являющийся углом β между стороной АС и плоскостью грани СМВ.
cos β = (AC²+КС²-АК²)/(2*АС*КС) =
 = ((4√3)²+(10√3/√13)²-(18/√13)²)/(2*(4√3)*(10√3/√13)) =
 =  0,693375245.
Отсюда β = 0.804633677 радиан = 46,10211375°.