Question

Найти неопределённые интегралы от тригонометрических функций: используя формулы понижения степени:

Answer 1

$\displaystyle \int\limits {\sin^32x\cos^62x} \, dx =\int\limits {\sin^32x\cos^32x\cos^32x} \, dx =\\ \\ \\ = \frac{1}{8} \int\limits {(\sin4x\cos2x)^3} \, dx =\\ \\ \\ = \frac{1}{8} * \frac{1}{32}\int\limits {(6\sin2x+8\sin6x-3\sin14x-\sin18x)} \, dx =\\ \\ \\= -\frac{3}{256} \cos2x- \frac{1}{192}\cos6x+ \frac{3}{3584}\cos14x+ \frac{1}{4608} \cos18x+C$

$\displaystyle \int\limits {\sin^22x\cos^24x} \, dx = \frac{1}{4} \int\limits (1-\cos4x)(1+\cos8x) \, dx =\\ \\ \\ = \frac{1}{4} \int\limits {(1+\cos8x-\cos4x-\cos4x\cos8x)} \, dx =\\ \\ \\ \frac{1}{4}\int\limits {(1+\cos8x-\cos4x-0.5\cos4x-0.5\cos12x)} \, dx =\\ \\ \\ = \frac{x}{4}+ \frac{\sin8x}{32} - \frac{3\sin4x}{32} - \frac{\sin12x}{86} +C$