Question

Найдите площадь прямоугольникы abcd, если ac = 12см и образует с bd угол в 45 градусов

Answer 1

Диагонали прямоугольника равны.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

AC и BD - диагонали прямоугольника.

Они делят ABCD на 4 тругольника, причём площади этих треугольников попарно равны, т.е. $\\S_{ABO}=S_{CDO}\\S_{BCO}=S_{ADO}$

Площадь же ABCD равна сумме площадей этих треугольников:

$\\S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{CDO}+S_{ADO}=2S_{ABO}+2S_{BCO}=2(S_{ABO}+S_{BCO})$

То есть, AC = BD = 12 см.

Пусть AC и BD пересекаются в точке О. Тогда AO = OC = BO = OD = 6см.

ΔABO - равнобедренный, т.к. AO = BO, угол О = 45⁰. $S_{ABO}=\frac12\cdot AO^2\sin O=\frac12\cdot 36\cdot \frac{\sqrt2}2=9\sqrt2$

ΔBCO - равнобедренный, т.к. BO = CO, угол BOC = 180⁰ - 45⁰ = 135⁰ (смежные углы). $S_{BCO}=\frac12\cdot BO^2\cdot\sin(BOC)=\frac12\cdot36\cdot\sin\frac{3\pi}4=\frac12\cdot36\cdot\frac{\sqrt2}2=9\sqrt2$.

Таким образом, $S_{ABCD}=2(S_{ABO}+S_{BCO})=2(9\sqrt2+9\sqrt2)=36\sqrt2$ кв.см.