Question

Y'+2y+4=0 линейное дифферициальное уравнение первого порядка

Answer 1

1) Короткий

$y'+2y+4=0;\ (y+2)'=-2(y+2);\ y+2=Ce^{-2x}; y=Ce^{-2x}-2$

2) Длинный, но стандартный
Решаем как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Сначала нужно решить однородное уравнение
$y'+2y=0.$
Соответствующее характеристическое уравнение 
$t+2=0;\ t=-2;\ y=Ce^{-2x}.$ Остается угадать частное решение неоднородного уравнения 
$y'+2y=-4$. Поскольку производная константы равна нулю, частным решением будет $\bar y =-2.$ 

ответ: $y=Ce^{-2x}-2$

3) Еще один стандартный скучный Уравнение можно рассматривать как уравнение с разделяющимися переменными:

$\frac{dy}{dx}=-2y-4;\ \frac{dy}{y+2}=-2\, dx;\ \int\frac{dy}{y+2}=-2\int\, dx;\ \ln|y+2| =-2x+C;\$

$|y+2|=e^{-2x+C};\ y=\pm e^C\cdot e^{-2x}-2.$

Обозначим $\pm e^{C}=C_1\not= 0;\ y=C_1\cdot e^{-2x}-2.$

Заметим, что в процессе решения мы делили на y+2, при этом потеряли решение y= - 2. Его надо добавить к уже найденным решениям. Записывать это решение в ответ отдельной строкой не придется, так как оно вписывается в общее решение, если снять ограничение $C_1\not= 0.$