Question

Решите , вообще не получается. нужно исследовать на сходимость числовые ряды (бесконечность; n=1) a) n! /(2n)! б) n*e^(-n^2)

Answer 1

$1)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{n!}{(2n)!} \; ,\\\\\lim\limits _{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n!} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{n!\, (n+1)}{(2n)!\, (2n+1)(2n+2)} \cdot \frac{(2n)!}{n!}=\\\\= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} =0\ \textless \ 1\; \; \to \; \; sxoditsya$

$2)\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, n\, e^{-n^2}\\\\ \int\limits^{\infty }_1 {x\, e^{-x^2}\, dx= \lim\limits _{A \to +\infty} \int\limits^A_1 {x\, e^{-x^2}} \, dx =[\; \int \, e^{-x^2}\cdot (-2x)dx=e^{-x^2}+C\, ]=$

$= \lim\limits _{A \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{-x^2})\Big |_1^{A}=-\frac{1}{2}\cdot \lim_{A \to \infty}(e^{-A^2}-e^{-1})=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \lim\limits _{A \to \infty} ( \frac{1}{e^{A^2}} -\frac{1}{e})=-\frac{1}{2}(0-\frac{1}{e})= \frac{1}{2e}\ \textless \ 1\; \; \to \; \; sxoditsya$