Question

Найти частное решение дифференци-ального уравнения, удовлетворяющего начальному условию cosydx=(x+2cosy)sinydy, y(0) = п/4

Answer 1

$cosydx=(x+2cosy)sinydy\\cosydx-(xsiny+sin2y)dy=0\\P=cosy;Q=-(xsiny+sin2y)\\\frac{\delta P}{\delta y}=-siny\ ;\frac{\delta Q}{\delta x}=-siny\\\frac{\delta P}{\delta y}=\frac{\delta Q}{\delta x}\\\\\frac{\delta F}{\delta x}dx+\frac{\delta F}{\delta y}dy=0\\\frac{\delta F}{\delta x}=cosy\\\frac{\delta F}{\delta y}=-(xsiny+sin2y)\\\\\frac{\delta F}{\delta x}=cosy\\F=\int cosydx=xcosy+\phi(y)\\\frac{\delta F}{\delta y}=(xcosy+\phi(y))`=-xsiny+\phi`(y)\\-xsiny+\phi`(y)=-xsiny-sin2y\\\phi`(y)=-sin2y$
$\phi(y)=\int(-sin2y)dy=\frac{1}{2}cos2y+C\\F=xcosy+\frac{1}{2}cos2y+C\\xcosy+\frac{1}{2}cos2y+C=0\ ;y(0)=\frac{\pi}{4}\\0+\frac{1}{2}cos\frac{\pi}{2}+C=0\\C=0\\OTBET:xcosy+\frac{1}{2}cos2y=0$