Question

Неопределённый интегралы dx/sqrt((1-x^2)*arcsin(x)*dx (x^2+1)*3^x*dx (x+3)/(x^2-2x+2)*dx

Answer 1

1.
$\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{(1-x^2)arcsinx} } } \, dx \\ arcsinx=t\\ \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} }=dt\\ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{t} } } \, dt=2 \sqrt{t}+C=2 \sqrt{arcsinx}+C$
2.
$\int\limits {(x^2+1)3^x} \, dx = \int\limits {3^xx^2} \, dx + \int\limits {3^x} \, dx$
Посчитаем первый интеграл отдельно:
$\int\limits {3^xx^2} \, dx\\ u(x)=x^2 \\ du=2x dx\\ dv=3^xdx \\ v(x)= \frac{3^x}{ln3}\\ \int\limits {3^xx^2} \, dx = x^2*\frac{3^x}{ln3} -\int\limits {\frac{3^x}{ln3}*2x} \, dx =\frac{x^23^x}{ln3} -\frac{2}{ln3} \int\limits {3^xx} \, dx =\\u(x)=x \\du=dx\\dv=3^xdx \\v(x)= \frac{3^x}{ln3} \\=\frac{x^23^x}{ln3} -\frac{2}{ln3}(\frac{x3^x}{ln3}- \int\limits {\frac{3^x}{ln3}} \, dx )=\frac{x^23^x}{ln3} -\frac{2*3^xx}{ln^23}+ \frac{2}{ln^23} \int\limits {3^x} \, dx = \frac{x^23^x}{ln3} -\frac{2*3^xx}{ln^23}+ \frac{2*3^x}{ln^33} + C$
Возвращаемся обратно к нашему первоначальному интегралу:
$\int\limits {(x^2+1)3^x} \, dx = \int\limits {3^xx^2} \, dx + \int\limits {3^x} \, dx=\frac{x^23^x}{ln3} - \frac{2*3^xx}{ln^23}+ \frac{2*3^x}{ln^33} + \frac{3^x}{ln3}+ C=3^x(\frac{x^2ln^23-2xln3+2+ln^23}{ln^33} )+C$
3.
$\int\limits { \frac{x+3}{x^2-2x+2} } \, dx = \int\limits { \frac{x}{x^2-2x+2} } \, dx + \int\limits { \frac{3}{x^2-2x+2} } \, dx =\\\int\limits { \frac{x-1}{x^2-2x+2} } \, dx + \int\limits { \frac{4}{x^2-2x+1+1} } \, dx =\\\int\limits { \frac{2x-2}{2(x^2-2x+2)} } \, dx + \int\limits { \frac{4}{(x-1)^2+1} } \, dx$
Первый интеграл:
$\int\limits { \frac{2x-2}{2(x^2-2x+2)} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{2x-2}{x^2-2x+2} } \, dx \\x^2-2x+2=t,\\ (2x-2) dx=dt\\ \int\limits { \frac{1}{t} } \, dt = ln|t|+C=ln|x^2-2x+2|+C$
Второй интеграл:
$\int\limits { \frac{4}{(x-1)^2+1} } \, dx\\x-1=t\\dx=dt\\ 4 \int\limits { \frac{1}{t^2+1} }\,dt =4arctgt+C=4arctg(x-1)+C$
Теперь собираем всё вместе:
$\int\limits { \frac{x+3}{x^2-2x+2} } \, dx =ln|x^2-2x+2|+4arctg(x-1)+C$