Question

Решите уравнение cos2x=cosx и запишите его корни х, удовлетворяющие условию 0 градусов < 2x-пи/3< 10 пи/9

Answer 1

2cos²x-1=cosx
2cos²x-cosx-1=0
пусть cosx=a, |a|≤1
2a²-a-1=0
D=(-1)²-4*2*(-1)=1+8=9
a₁=(1-3):4=-0,5
a₂=(1+3):4=1
cosx=-0,5
$x=\pm arccos(-0,5)+2\pi k$,k∈z
x=$\pm ( \pi -arccos0,5)+2 \pi k$, k∈z
x=$\pm (\pi - \frac{\pi}{3}) +2\pi k$,k∈z
x=$\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k$,k∈z
корни:
если k=0, то x=$\pm \frac{2\pi}{3}$,
x=2π/3-является корнем ур-я, а х=-2π/3-не является.
0<2x-π/3<10π/9
0<2*2π/3-π/3<1 1/9 π
0<4π/3-π/3<1 1/9 π
0<π<1 1/9 π
2pi/3-корень уравнения!
------------------------------------------------------------------------------------------------------
cosx=1
x=2πn,n∈z
корней, удовлетворяющих промежутку (0;1 1/9 π) у этого уравнения нет
------------------------------------------------------------------------------------------------------
ответ: 2п/3