Question

Найти направление наибольшего возрастания поля u в точке м и скорость его возрастания в этом направлении: u(x,y,z)=xy+y^2+xz, м(1,1,2)

Answer 1

$U(x,y,z)=xy+y^2+xz, \ M(1,1,2)$
Направление наибольшего возрастания поля указывает вектор градиента этого поля.
$U_z(M)=x|_M=1\\ grad U|_M=U_x(M)i+U_y(M)j+U_z(M)k$
Вычислим значения частных производных в точке M: 
$U_x(M)=(y+z)|_M=1+2=3\\ U_Y(M)=(x+2y)|_M=1+2*1=3\\ U_z(M)=x|_M=1$ ⇒
$grad U|_M=U_x(M)i+U_y(M)j+U_z(M)k=3i+3j+k$
Наибольшая скорость возрастания  равна наибольшему значению производной по направлению градиента в точке M.
δU/δ(gradU)|M=gradU·gradU/|gradU|M=|gradU|M=√3²+3²+1²=√19