Question

Провести полное исследование функции и построить ее график y=((x-2)^2)/(x+1)

Answer 1

Дана функция $y= \frac{(x-2)^2}{x+1} .$

1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - это точка х = -1.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{2}}{- x + 1}
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x + 1} = 0.
Решаем это уравнение.
Точки пересечения с осью X:  x_{1} = 2.

5. Найти асимптоты графика.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. 

Находим коэффициент k: $k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4x+4}{x^2+x} =1.$
  Находим коэффициент b: $b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} ( \frac{(x-2)^2}{x}-x)= \lim_{x \to \infty} \frac{-5x+4}{x+1} =-5.$

Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x - 5.

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x1 = -1
Находим пределы в точке -1. Они равны +-∞.
Поэтому точка x1 = -1  является вертикальной асимптотой.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

$y'= \frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2} .$

Приравниваем нулю производную и получаем 2 корня х = 2  и  х = -4 и четыре промежутка значений производной (с учётом разрыва функции в точке х = -1): (-∞; -4), (-4; -1), (-1; 2), (2; +∞).

Определяем знак производной на полученных промежутках:

х =       -5         -4        -3        -1       0       2            3
y' =  0,4375      0      -1,25      -        -8       0        0,4375.

7. Найти промежутки монотонности функции.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 

х ∈ (-∞; -4) ∪ (2; +∞) - функция возрастает,

х ∈  (-4; -1) ∪ (-1; 2) - функция убывает.

8. Определить экстремумы функции f(x).

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -4 (знак с + на -) это максимум,

в точке х = 2 (знак с - на +) это минимум.

9. Вычислить вторую производную f''(x) = 18/(x+1)³.

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

Так как вторая производная в области определения не может быть равной нулю, то функция не имеет перегибов.

11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Он дан в приложении.