Question

Ln(4x-2)*sqrt(x^2-4x+4a-a^2)=0 при каких значениях а уравнение имеет один корень на промежутке [0; 2]?

Answer 1

Один корень у этого уравнения известен при любом а:
ln(4x - 2) = 0
4x - 2 = 1
x = 3/4 ∈ [0; 2]
Нам надо, чтобы на этом отрезке был только один корень.
Это может быть в двух случаях:
1) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 корней не имеет. Тогда
x^2 - 4x + 4a - a^2 = 0 тоже корней не имеет. Значит, D < 0.
D = 4^2 - 4(4a - a^2) = 16 - 16a + 4a^2 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2 < 0
Такого не может быть, квадрат выражения всегда неотрицательный.
Значит, остается второй случай.
2) Уравнение √(x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 имеет корни, но они не ∈ [0; 2]
Тут тоже возможно 2 варианта:
2а) Уравнение имеет 1 корень. D = 4(a - 2)^2 = 0. а = 2. Тогда
x^2 - 4x + 4*2 - 2^2 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0
x = 2 ∈ [0; 2] - нам этот вариант не подходит.
2б) Уравнение имеет 2 корня. D = 4(a - 2)^2 = (2a - 4)^2 > 0. a ≠ 2. Тогда
x1 = (4 - (2a - 4))/2 = (8 - 2a)/2 = 4 - a
x2 = (4 + (2a - 4))/2 = 2a/2 = a
Здесь опять возможны варианты.
3а) x1 < 0; x2 < 0
{ 4 - a < 0; a > 4
{ a < 0
Решений нет.
3б) x1 < 0, x2 > 2
{ 4 - a < 0; a > 4
{ a > 2
Решение: a > 4
3в) x1 > 2, x2 < 0
{ 4 - a > 2; a < 2
{ a < 0
Решение: a < 0
3г) x1 > 2, x2 > 2
{ 4 - a > 2; a < 2
{ a > 2
Решений нет.

ответ: При a ∈ (-oo; 0) U (4; +oo) уравнение имеет 1 корень на [0; 2].