Question

Вящике лежит 6 новых теннисных мячей и 4 игранных. из ящика извлекаются наугад 2 мяча для игры и после игры возвращаются в ящик. после этого из ящика вынимаются 2 мяча для следующей игры. найти вероятность того, что эти оба мяча будут новыми.

Answer 1

Рассмотрим ситуацию с извлечением двух шариков для игры и последующим возвратом. Возможно 4 случая:
1. С вероятностью 1/4 извлечены были старый и старый шарик
2. С вероятностью 1/4 извлечены были новый и новый шарик
3. С вероятностью 1/4 извлечены были старый и новый шарик
4. С вероятностью 1/4 извлечены были новый и старый шарик
Поскольку нас не интересует порядок извлечения шаров, то последние две ситуации можно объединить в одну следующим образом:
3. С вероятностью 1/2 в некотором порядке были извлечены старый и новый шарик.
В первом случае число старых и новых шариков не изменилось: 6 новых и 4 старых.
Во втором случае пара новых шариков теперь стали игранными: осталось 4 новых шарика, соответственно старых 6.
В третьем случае один новый шарик теперь стал игранным: осталось 5 новых шариков, соответственно старых 5.
Общее число шариков не изменялось - 10 штук.

1. Вероятность вытащить из 6 новых и 4 старых шариков 2 новых:
$P(A)= \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}$
2. Вероятность вытащить из 4 новых и 6 старых шариков 2 новых:
$P(B)= \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}$
3. Вероятность вытащить из 5 новых и 5 старых шариков 2 новых:
$P(C)= \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}$

Учитывая тот факт, что каждый случай также наступает с определенной вероятностью, а также что все эти случаи несовместны, получим:
$p=P_1P(A)+P_2P(B)+P_3P(C) \\\\ p= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9}+ \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9}+ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9}= \\\\ = \dfrac{1}{4\cdot10\cdot9} (6\cdot5+4\cdot3+2\cdot5\cdot4)= \dfrac{82}{4\cdot10\cdot9} = \dfrac{41}{180}$
ответ: 41/180