Question

Исследовать функцию и построить график y=2x^3-6x

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.
Возможно, что какие-то пункты объединены/пропущены. Если чего-то не хватает, будет дополнено в комментариях.

Answer 2

Определяем область определения: D(y)=R
берем 1 и 2 производную:
y'=2*3x^2-6=6x^2-6
y''=6*2x=12x
ищем критические точки
6x^2-6=0
x^2-1=0
x^2=1
x1=1
x2=-1
y1=2-6=-4
y2=-2+6=4
ищем интревалы возрастания/убывания и экстремиумы:

определяем точки на которых производная меняет знак:
возьмем число, например (-2):
4-1=0 - знак +
возьмем число 0:
0-1 - знак (-)
возьмем число 2:
4-1 - знак +
в точке x=-1 производная меняет знак с + на
- , значит это максимум.
в точке x=1 производная меняет знак с - на + , значит это минимум.
В промежутке (-oo;-1] и [1;+oo) знак +, значит на данном интервале функция возрастает
а на [-1;1] - знак (-), значит функция убывает.
ищем асимптоты:
горизонтальные:
lim(x->-oo)(2x^3-6x)=-oo
lim(x->oo)(2x^3-6x)=oo
значит горизонтальных асимптот у данной функции нет
наклонные:
lim(x->-oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6=oo
lim(x->oo)((2x^3-6x)/x)=2x^2-6x=oo
значит наклонных асимптот у данной функции нет
ищем интервалы выпуклости и вогнутости:
для этого приравниваем 2 производную к 0:
12x=0
x=0
определяем знаки:
возьмем число (-1):
-12 - знак минус
возьмем число 1:
12 - знак плюс
значит функция выпукла на (-oo;0] и вогнута на [0;+oo)
определяем четность/нечетность функции:
y(-x)=2*(-x)^3-6(-x)=-2x^3+6x=-(2x^3-6x)=-y(x)
значит функция нечетная
поряделяем точки пересечения с осями координат:
x=0; y=0; (0;0)
y=0; 2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0
x1=0 (0;0)
x^2-3=0
x^2=3
x2=sqrt(3) (sqrt(3);0)
x3=-sqrt(3) (-sqrt(3);0)
В итоге получаем:
функция: y=2x^3-6x
область определения: D(y)=R
функция нечетная
нули: (0;0), (sqrt(3);0) и (-sqrt(3);0)
функция непрерывна
1 производная: y=6x^2-6
2 производная: y=12x
данная функция не имеет асимптот
критические точки: (1;-4) и (-1;4)
максимум: (-1;4)
минимум: (1;-4)
возрастает: (-oo;-1] и [1;+oo)
убывает: [-1;1]
выпукла: (-oo;0]
вогнута: [0;+oo)
и строим график: