30/31
Пошаговое объяснение:
Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.
Впишем в треугольник окружность с радиусом r.
Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.
Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по известным радиусам вневписанных окружностей.
.
(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.
Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.
Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.
Используем свойства вписанной и вневписанной окружностей.
Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:
р² = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.
Отсюда р = √47.
Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 3√47 ≈ 8,75189949.
Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.
Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, или rр = rа(р - а).
Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.
По аналогичным формулам находим стороны b и с.
Подставив значения, получаем:
а = 3,93835477 b = 5,105274702 c =4,667679728 .
Делаем проверку правильности найденных значений.
По формуле Герона S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).
Подставив значения, находим S = 8,75190051 . что соответствует уже найденному значению.
Вторая проверка: по теореме косинусов угол А равен 47,26788996°.
С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/√47) = 47,26788996 ° верно.
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r^2 -3 r + 2 = 0
D=(-3)^2 - 4·1·2=1
Корни характеристического уравнения:
r1 = 2
r2 = 1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e^(2x)
y2 = e^x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y- = C1*e^(2x) +C2*e^x, Ci ∈ R.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)) имеет решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 1 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:
y· = x (Ae^x)
Вычисляем производные:
y' = A·x·e^x+A·e^x
y'' = A(x+2)·e^x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -3y' + 2y = (A(x+2)·e^x) -3(A·x·e^x+A·ex) + 2(x (Ae^x)) = e^x
или
-A·e^x = e^x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -A = 1
Решая ее, находим:
A = -1;
Частное решение имеет вид:
y·=x (-1e^x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = y- + y. = C1*e^(2x) +C2*e^x - x *e^x.
