Question

1-даны вектора a=(4; 3; 5), b=(-2; 1; 3) и c=(6; 2; 0). найти : a)координаты вектора n=4a-2b+c б) cos (a; c) в)a*b 2- найдите площадь треугольника abc, если a(4; 10; 5), b(-1; 0; 3), c(5; -2; -3)

Answer 1

$1)\; \; \vec{a}=(4,3,5)\; ,\; \; \vec{b}=(-2,1,5)\; ,\; \; \vec{c}=(6,2,0)\\\\a)\; \; \vec{n}=4\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=(16,12,20)-(-4,2,10)+(6,2,0)=\\\\=(26,12,10)\\\\b)\; \; cos(\vec{a}\; \widehat {,}\, \vec{c})= cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{c}|} = \frac{24+6+0}{\sqrt{16+9+25}\cdot \sqrt{36+4+0}} = \frac{30}{\sqrt{50}\cdot \sqrt{40}} = \frac{3}{2\sqrt5} \\\\ \alpha =arccos \frac{3}{2\sqrt5} \\\\c)\; \; \vec{a}\cdot \vec{b}= -8+3+25=20$

$2)\; \; A(4,10,5)\; ,\; \; B(-1,0,3)\; ,\; C(5,-2,-3)\\\\\overline{AB}=(-5,-10,-2)\; ,\; \; \overline {AC}=(1,-12,-8)\\\\\vec{AB}\times \vec{AC}= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-5&-10&-2\\1&-12&-8\end{array}\right|=i(80+24)-j(40+2)+k(60+10)=\\\\\\=104\vec{i}-42\vec{j}+70\vec{k} \\\\S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{104^2+42^2+70^2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{17480}=\sqrt{4370}$