Question

Решите ! sin4x=(1+√2)(sin2x+cos2x-1)

Answer 1

Sin 4x = (1+√2)(sin 2x + cos 2x - 1)
Есть такая формула: sin a + cos a = √2*sin(a + pi/4)
sin 4x = (1+√2)*(√2(sin(2x + pi/4) - 1)
sin 4x = (1+√2)*(√2(sin(2x + pi/4) - √2*1/√2)
sin 4x = (1+√2)*√2(sin(2x + pi/4) - 1/√2)
sin 4x = (√2+2)(sin(2x + pi/4) - sin(pi/4))
Еще есть формула разности синусов:
$sin (a) - sin (b)=2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем
$sin(4x)=( \sqrt{2}+2 )*2sin \frac{2x+pi/4-pi/4}{2}*cos \frac{2x+pi/4+pi/4}{2}$
$2sin(2x)*cos(2x)=( \sqrt{2} +2)*2sin(x)*cos(x+pi/4)$
$4sin(x)*cos(x)*cos(2x)=( \sqrt{2} +2)*2sin(x)*cos(x+pi/4)$
2sin x*(2cos x*cos 2x - (√2+2)*cos(x+pi/4)) = 0
sin x = 0; x1 = pi*k
2cos x*cos 2x - (√2+2)*cos(x+pi/4) = 0
Я не знаю, как решать это уравнение, может, кто-то придумает.
Вольфрам Альфа показывает, что его корни:
x2 = pi/8 + pi*n
x3 = pi/4 + pi*n