Прямая ol, не перпендикулярная оси oz, равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. точка м движется по прямой ol со скоростью, пропорциональной расстоянию ом подвижной точки до точки о. написать параметрические уравнения траектории точки м. (траектория называется конической спиралью)
В неподвижной системе координат расстояние до точки O изменяется в соответствии с дифференциальным уравнением: r'(t) = r(t) / τ (неизвестный коэффициент пропорциональности здесь 1/τ)
Уравнение с разделяющимися переменными, решаем: dr / r = dt / τ r = r(0) exp(t / τ)
Переходим от r к (x, y, z): x(t) = x(0) exp(t / τ) y(t) = y(0) exp(t / τ) z(t) = z(0) exp(t / τ)
В вращающейся системе координат z остаётся такой же, а x и y периодически изменяются: x(t) -> x(t) cos(ωt + φ) y(t) -> y(t) sin(ωt + φ)
В итоге получаем такие параметрические уравнения: x(t) = x(0) cos(ωt + φ) exp(t / τ) y(t) = y(0) sin(ωt + φ) exp(t / τ) z(t) = z(0) exp(t / τ)
Если выбрать в качестве параметра угол θ, на который повернулась прямая, то будет немного по-другому: x(θ) = a cos θ exp(θ/Φ) y(θ) = a sin θ exp(θ/Φ) z(θ) = b exp(θ/Φ) (Φ = ωτ)
При делении репьюнита на число N возможны N различных остатков: 0,1,...,N-1. Рассмотрим N+1 репьюнит (например, из одной, двух, ..., N+1 единиц) и их остатки при делении на число N. По принципу Дирихле найдется два репьюнита с одинаковыми остатками при делении на N. Пусть больший из них содерижит p единиц, а меньший q единиц, p>q. Рассмотрим разность этих репьюнитов. Это число делится на N, так как уменьшаемое и вычитаемое имеют одинаковые остатки при делении на N. С другой стороны, разность равна произведению репьюнита длины p-q на число 10^q. Поскольку числа N и 10 взаимно просты, числа N и 10^q также взаимно просты. Но тогда репьюнит длины p-q делится на N, что и требовалось.
r'(t) = r(t) / τ (неизвестный коэффициент пропорциональности здесь 1/τ)
Уравнение с разделяющимися переменными, решаем:
dr / r = dt / τ
r = r(0) exp(t / τ)
Переходим от r к (x, y, z):
x(t) = x(0) exp(t / τ)
y(t) = y(0) exp(t / τ)
z(t) = z(0) exp(t / τ)
В вращающейся системе координат z остаётся такой же, а x и y периодически изменяются:
x(t) -> x(t) cos(ωt + φ)
y(t) -> y(t) sin(ωt + φ)
В итоге получаем такие параметрические уравнения:
x(t) = x(0) cos(ωt + φ) exp(t / τ)
y(t) = y(0) sin(ωt + φ) exp(t / τ)
z(t) = z(0) exp(t / τ)
Если выбрать в качестве параметра угол θ, на который повернулась прямая, то будет немного по-другому:
x(θ) = a cos θ exp(θ/Φ)
y(θ) = a sin θ exp(θ/Φ)
z(θ) = b exp(θ/Φ)
(Φ = ωτ)