Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника относятся к меньшему катету как к 17: 8. если гипотенузу уменьшить на 7, а меньше катет - на 21, а больше катет оставить без изменения, то получится прямоугольный треугольник. определите как изменится площадь прямоугольного треугольника

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный ΔАВС, ∠С=90°.
Пусть x-коэффициент пропорциональности, тогда АВ=17x, ВС=8x.
По теореме Пифагора в ΔАВС  АС²=АВ²-ВС²=(17x)²-(8x)²=225x².
Отсюда АС=15x.
Площадь исходного ΔАВС можно вычислить через катеты:
$S_{ABC}= \frac{1}{2} AC*BC$
При уменьшении гипотенузы АВ на 7 и катета ВС на 17 согласно условию получен также прямоугольный треугольник, причем катет АС не изменился. Пусть новый треугольник - это ΔАCK.
Площадь нового ΔАСК можно вычислить через катеты:
$S_{ACK}= \frac{1}{2} AC*CK$
Отсюда видно, что изменение площади исходного треугольника зависит от изменения длины катета ВС.
$\dfrac{S_{ABC}}{S_{AKC}}= \dfrac{ \frac{1}{2}AC*BC }{\frac{1}{2}AC*KC }= \dfrac{BC}{CK}$
Для ΔАСК по теореме Пифагора АК²=АС²+СК²
(17х-7)²=(15х)²+(8х-21)²
289х²-238х+49=225х²+64х²-336х+41
98х=392
х=4
Значит, $\dfrac{S_{ABC}}{S_{AKC}}= \dfrac{BC}{CK}= \dfrac{8x}{8x-21}= \dfrac{32}{32-21}= \dfrac{32}{11}$
ответ: площадь треугольника уменьшится в $\frac{32}{11}$ раз.

P.S. Если ответ к задаче нужно дать не в разах, то вычисляются площади каждого треугольника, а затем ищем разницу вычитанием:
$S_{ABC}= \frac{1}{2} *(15x)*(8x)=60 x^{2} =60*4^2=960\\ S_{AKC}= \frac{1}{2} *(15x)*(8x-21)= \frac{1}{2}*60*11= 330\\ S_{ABC}-S_{AKC}=960-330=630$
Площадь уменьшилась на 630 кв.ед.изм.