Question

Решить методом лагранжа y'=(2y - 3) tgx

Answer 1

$y'-2ytgx=-3tgx$
Решим сначала соответствующее однородное уравнение
$y'-2ytg x=0$ 
Это уравнение с разделяющимися переменными

$y'=2y tgx$
Воспользуемся определением дифференциала
$\frac{dy}{dx}=2ytgx$

Разделяем переменные

$\frac{dy}{y} =2tg xdx$

Интегрируя обе части уравнения, получим

$\ln|y|=-2\ln|\cos x|+\ln C\\ \\ y= \dfrac{C}{\cos^2x}$

Находим теперь общее решение неоднородного уравнения, приняв константу за функцию, т.е. $C=C(x)$

$\displaystyle y=\dfrac{C(x)}{\cos^2x}$

Найдем для нее производную первого порядка

$y'= \dfrac{C'(x)\cos^2x-C(x)2\cos x(-\sin x)}{\cos^4x}= \dfrac{C'(x)\cos x+2C(x)\sin x}{\cos^3x}$

Подставим в исходное уравнение

$\dfrac{C'(x)\cos x+2C(x)\sin x}{\cos^3x} -2\cdot\dfrac{C(x)}{\cos^2x} \cdot tg x=-tg x\\ \\ \\ \dfrac{C'(x)}{\cos^2x} + \dfrac{2C(x)\sin x}{\cos^3x} -\dfrac{2C(x)\sin x}{\cos^3x} =-3tg x\\ \\ \\ \dfrac{C'(x)}{\cos^2x} =-3tg x\\ \\ C'(x)=-3\sin x\cos x$

Интегрируя обе части уравнения, получим

$C(x)= \frac{3}{2} \cos^2x$

Подставив в $y=\dfrac{C(x)}{\cos^2x}$, получим $y= \dfrac{3}{2}$

Тогда общее решение данного уравнения:

$\boxed{y=\dfrac{C}{\cos^2x} + \dfrac{3}{2} }$