Question

Докажите, что если числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) являются тремя последовательными членами арифмитической прогрессии, то числа a^2, b^2, c^2 также являются тремя последовательными членами арифмитической прогресии.

Answer 1

Из свойства арифметической прогрессии следует:
$\frac{1}{a+c}= \frac{1}{2}( \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+b})$
отсюда:
$2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c) \\2b^2+2ab+2ac+2bc=a^2+ac+ab+bc+ab+bc+ac+c^2 \\2b^2+2ab+2ac+2bc=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc \\2b^2=a^2+c^2 \\b^2= \frac{a^2+c^2}{2}$
В силу характеристического свойства арифметической прогрессии полученное равенство означает, что числа $a^2,\ b^2,\ c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии