ответ: 4) S=12, 5) 3*y²-2*x³-3=0.
Пошаговое объяснение:
4) Искомая площадь S=F(3)-F(0), где F(x)=∫(x²+1)*dx - первообразная функции y(x). Отсюда F(x)=1/3*x³+x+C, и тогда S=1/3*3³+3+C-C=12.
5) Разделив обе части уравнения на y, получаем уравнение с разделёнными переменными x²*dx=y*dy. Интегрируя, получаем: 1/2*y²=1/3*x³+C. Используя условие y(0)=1, приходим к уравнению 1/2=0+C, откуда C=1/2. Отсюда 1/2*y²=1/3*x³+1/2, или 3*y²-2*x³-3=0. Проверка: исходное уравнение можно записать в виде dy/dx=x²/y. Дифференцируя полученное решение по x, получаем: 6*y*y'-6*x²=0, откуда y'=dy/dx=x²/y, что совпадает с исходным уравнением - значит, уравнение решено правильно.
dx/dt=-sint
d^2x/d^2t=-cost
dy/dt=4*sin^3(t/2)*cos(t/2)*1/2=2sin^3(t/2)*cos(t/2)=sint*sin^2(t/2)
d^2y/d^2t=cost*sin^2(t/2)+sint*2sin(t/2)*cos(t/2)*1/2=
=cost*sin^2(t/2)+sin^2t/2
(d^2y/d^2t):(d^2x/d^2t)=d^2y/d^2x=-sin^2(t/2)-tgt*sint