Question

Найдите все а при которых уравнение cos2x+2cosx=a+1 имеет только один корень на промежутке [-п/3; п]

Answer 1

Для начала преобразуем уравнение формулы косинуса двойного угла:

$2 cos^{2} x - 1 + 2cosx = a + 1 \\ 2 cos^{2} x + 2cosx - a - 2 = 0$

Вводим замену $cos x = t$

$2 t^{2} + 2t - a - 2 = 0$

Помним, что t - это не просто переменная , а косинус, который пробегает лишь отрезок [-1,1], то есть
                                           $-1 \leq t \leq 1$     

Чтобы найти необходимые границы для косинуса,

рассмотрим рисунок. Красным  обозначен интересующий отрезок.  Когда же на данном отрезке будет только один корень? Ну, граничные случаи видны сразу. Это $t = -1$ и $t = \frac{1}{2}$. Эти прямые проводим через данные точки, они выделены синим и красным. Почему это граничные точки? Пусть t заключено между этими прямыми. Если t = -1, то, как видно, всего одна точка общая с прямой t=-1 и окружностью(напомню, что прямая вида t = a - задаёт значение а косинуса угла на окружности). Тем более, если такие прямые лежат между синей и красной(эта область заштрихована синим). Здесь показана одна из таких прямых(зелёная). Как видим, она имеет с данным отрезком только одну точку пересечения, что нам и нужно. А вот прямая  $t = \frac{1}{2}$  нам не подходит. В этой точке прямая пересекает наш отрезок дважды(в верхней полуокружности и в нижней). Значит, заведомо будет две серии решений, в каждой из которых по корню будут содержаться на этом отрезке(а нам нужен только один корень на отрезке). Соответственно, в правой области(она заштрихована красным), ТЕМ БОЛЕЕ это не выполняется.  Помимо этого можно увидеть, что прямая t = 1 тоже нам подходит(ровно одна точка пересечения с окружностью).

То есть, нам подходят только такие t, что $-1 \leq t\ \textless \ \frac{1}{2}$ и $t = 1$.

Рассмотрим теперь квадратное уравнение.
Для начала стоит рассмотреть "изолированные" точки    $t = 1, t = -1$.

1)Пусть   $t = 1$  . Подставляя в квадратное уравнение, найдём отсюда соответствующее а:
                                   $2 * 1^{2} + 2 *1 - a - 2 = 0 \\ a = 2 + 2 - 2 = 2$
Проверка:
         $2 t^{2} + 2t - 4 = 0 \\ t^{2} + t - 2 = 0 \\ t_{1} = -2; t_{2} = 1$
Первый корень явно лишний(косинус не может достигать -2). То есть, видим, у нас есть лишь уравнение $cos x = 1$, устраивающее нас(его серия решений содержит единственный корень на отрезке) - a = 2 условию задачи удовлетворяет.

2)$t = -1$
      $2 (-1)^{2} + 2(-1) - a - 2 = 0 \\ a = -2$
    Проверяем:
     $2 t^{2} + 2t = 0 \\ t(t + 1) = 0 \\ t = 0$ или $t = -1$
  Здесь уже к корню t = -1 добавился корень t = 0. Уравнение $cos x = 0$ вновь имеет единственный корень на нашем отрезке(видно на круге). То есть, каждое t дало по одному корню на отрезке, в сумме - два корня для исходного уравнения.   a = -2 нам абсолютно не подходит.

3)Пусть теперь $-1 \ \textless \ t \ \textless \ \frac{1}{2}$. Здесь надо быть поаккуратнее, поскольку необходимо отслеживать число корней квадратного уравнения и промежутки, в которых они находятся. Количество корней зависит от дискриминанта. Найдём его.
 $D = b^{2} - 4ac = 4 + 4 * 2(a+2) = 8a + 20$
       а)Если $D \ \textless \ 0$, то корней квадратное уравнение не имеет - на нет и суда нет.
       б)Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень. Найдём его.
               $8a + 20 = 0 \\ a = - \frac{20}{8} = - \frac{5}{2}$
          Подсталвяем параметр в наше квадратное уравнение:
          $2 t^{2} + 2t + \frac{5}{2} -2 = 0 \\ 2 t^{2} +2t + 0,5 = 0 \\ t_{1,2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ - такое значение t вписывается в наш промежуток для t, поэтому $a = - \frac{5}{2}$ условию задачи удовлетворяет.
      
        в)$D \ \textgreater \ 0$ Самый сложный случай. Уравнение имеет два корня. Как же тогда получить в точности один корень на нужном отрезке? ответ прост: один корень должен вписываться в промежуток для t(там гарантированно будет одно решение на отрезке), а второй - не принадлежать ему(тогда гарантированно второй корень t не даст прибавку в подходящих x). Смотрите второй рисунок: либо меньший корень не принадлежит отрезку, либо больший.

Записываем для данной ситуации необходимые и достаточные условия.
  $\left \{ {{f(-1) \ \textless \ 0} \atop {f( \frac{1}{2})\ \textgreater \ 0 }} \right.$или$\left \{ {{f( \frac{1}{2}) \ \textless \ 0 } \atop {f(-1) \ \textgreater \ 0}} \right.$
Замечу, что при этом условие D > 0 уже не требуется: оно выполнено автоматически(если выполняются указанные системы, то это "опускает" параболу ниже оси OX, поэтому уравнение автоматически имеет два корня, а, стало быть, и D > 0).
 Находим теперь значения параболы в указанных точках.   
$f(-1) = -a-2$   
   $f( \frac{1}{2} ) = 2 * \frac{1}{4} + 1 - a - 2= -a - \frac{1}{2}$        

Решаем первую систему: 
                      $a$∈ $(-2, - \frac{1}{2} )$

Вторая система решений не имеет.
Добавляя к этому интервалу ещё точки $a = 2$ и $a = -\frac{5}{2}$(не вошедшие сюда), записываем
ответ: $a$∈$(-2, - \frac{1}{2} )$, $\{- \frac{5}{2} \}, \{2\}$