Question

Решите : siny+cos3y=1-2sin²y+sin2y

Answer 1

Т.к. 1- 2sin²y ≡ cos(2y), то исходное уравнение равносильно следующему
sin(y) + cos(3y) = cos(2y) + sin(2y),
cos(3y) - cos(2y) = sin(2y) - sin(y).
Используем следующие тригонометрические тождества
cos(A) - cos(B) ≡ -2sin( (A-B)/2 )*sin( (A+B)/2 ),
sin(A) - sin(B) ≡ 2sin( (A-B)/2)*cos( (A+B)/2).
Поэтому получаем равносильное уравнение:
-2*sin(y/2)*sin(5y/2) = 2*sin(y/2)*cos(3y/2),
0 = 2*sin(y/2)*( sin(5y/2) + cos(3y/2) ),
1) sin(y/2) = 0 или 2) sin(5y/2) + cos(3y/2) = 0.
1) y/2 = πm, m∈Z,
y = 2πm.
2) sin(5y/2) + cos(3y/2) = 0,
т.к. cos(3y/2) ≡ sin( (π/2) - (3y/2) ),
Поэтому
sin(5y/2) + sin( (π/2) - (3y/2) ) = 0,
Используем следующее триг. тождество
sin(A) + sin(B) = 2*sin( (A+B)/2 )*cos( (A-B)/2 ).
Получаем
2*sin( [(5y/2) + (π/2) - (3y/2)]/2 )*cos( [(5y/2) - (π/2) + (3y/2)]/2 ) = 0,
sin( (y/2) + (π/4) )*cos( 2y - (π/4) ) = 0;
2.1) sin( (y/2) + (π/4) ) = 0 или 2.2) cos( 2y - (π/4) ) = 0;
2.1) (y/2) + (π/4) = πn, n∈Z,
(y/2) = -(π/4) + πn,
y = -(π/2) + 2πn.
2.2) 2y - (π/4) = (π/2) + πk, k∈Z,
2y = (π/2) + (π/4) + πk = (3π/4) + πk,
y = (3π/8) + (πk/2).
ответ. y = 2πm, m∈Z,
y = -(π/2) + 2πn, n∈Z,
y = (3π/8) + (πk/2), k∈Z.