Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A, если у нас есть несколько возможных исходов (называемых гипотезами), каждая из которых может произойти с некоторой вероятностью, и каждая гипотеза имеет связь с событием A.
Пусть А - это событие "вынут белый шар".
Для начала, определим вероятность события А при каждой из гипотез:
Пусть H1 - это гипотеза "первая урна выбрана для извлечения шара".
Вероятность выбрать первую урну = 1/3 (так как у нас три урны).
Вероятность выбрать белый шар из первой урны = 10/18 (так как в первой урне есть 10 белых и 8 черных шаров).
Если первая урна была выбрана, то у нас теперь 9 белых и 8 черных шаров.
Вероятность выбрать белый шар из второй урны = 3/18 (так как после перекладывания из первой урны во вторую урну там окажется 11 шаров, из которых 3 белых и 8 черных).
Если первая урна выбрана, а затем белый шар переложили во вторую урну, то у нас теперь во второй урне будет 4 белых и 8 черных шаров.
Пусть H2 - это гипотеза "вторая урна выбрана для извлечения шара".
Вероятность выбрать вторую урну = 1/3 (так как у нас три урны).
Вероятность выбрать белый шар из второй урны = 4/18 (так как во второй урне после перекладывания из первой урны стало 4 белых и 8 черных шаров).
Если вторая урна была выбрана, то у нас теперь 3 белых и 9 черных шаров.
Вероятность выбрать 2 белых шара из второй урны (перекладывая их в третью урну) = (3/18) * (2/17) (при первом выборе вероятность выбрать 1 белый шар становится 3/18, а при втором выборе - 2/17).
Если вторая урна была выбрана, а затем два белых шара переложили в третью урну, то у нас теперь в третьей урне будет 6 белых и 14 черных шаров.
Пусть H3 - это гипотеза "третья урна выбрана для извлечения шара".
Вероятность выбрать третью урну = 1/3 (так как у нас три урны).
Вероятность выбрать белый шар из третьей урны = 6/16 (так как в третьей урне после перекладывания двух белых шаров из второй урны стало 6 белых и 14 черных шаров).
Теперь мы можем использовать формулу полной вероятности:
Для того чтобы упростить данное выражение (m+7/m-n+7/n) × mn/m^2-n^2, мы можем разложить дроби на множители, затем сокращать общие множители и провести арифметические операции.
Шаг 2: Посмотрим на числитель первой дроби (m+7)/m. У нас есть сложение, поэтому мы можем разложить числитель на две дроби:
(m+7)/m = m/m + 7/m = 1 + 7/m
Шаг 3: Посмотрим на знаменатель первой дроби (n+7)/n. Также имеем сложение, поэтому разложим его на две дроби:
(n+7)/n = n/n + 7/n = 1 + 7/n
Шаг 4: Выведем все наши разложения в исходном выражении:
(1 + 7/m) × (1 + 7/n) × mn/(m^2-n^2)
