Question

Дан прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам сетки. количество узлов сетки внутри него равно 435672, количество единичных отрезков сетки внутри него равно 873577. найдите стороны прямоугольника. в качестве ответа выведите длины сторон прямоугольника, разделяя их одинарным пробелом, в порядке возрастания, например, 12 23.

Answer 1

Пусть х единичных отрезков - длина прямоугольника,
у единичных отрезков - ширина прямоугольника.
Тогда (х - 1) - количество единичных отрезков сетки перпендикулярных длине, а также и количество узлов внутри прямоугольника в одном ряду по длине,
а (у - 1) - количество единичных отрезков сетки перпендикулярных ширине, а также и количество узлов внутри прямоугольника в одном ряду по ширине.
Получаем систему уравнений:
у(х - 1) + х(у - 1) = 873577
(х - 1)(у - 1) = 435672

$\left \{ {{y(x-1)+x(y-1)=873577} \atop {(x-1)(y-1)=435672}} \right.; \left \{ {{xy-y+xy-x=873577} \atop {xy-x-y+1=435672}} \right. ;$

$\left \{ {{xy= \frac{873577+x+y}{2} } \atop {xy=435672-1+x+y}} \right. \\ \\ \frac{873577+x+y}{2} =435671+x+y \\ \\ 873577+x+y=2(435671+x+y) \\ \\ 873577+x+y=871342+2x+2y \\ \\ 2x-x+2y-y=873577-871342 \\ \\ x+y=2235 \\ x=2235-y.$ ;

(2235 - у - 1)(у - 1) = 435672
2235у - 2235 - у² + у - у + 1 = 435672
- у² + 2235у - 435672 - 2235 + 1 = 0
- у² + 2235у - 437906 = 0
у² - 2235у + 437906 = 0
D = 2235² - 4 * 437906 = 4995225 - 1751624 = 3243601 = 1801²

$y_{1} = \frac{2235+1801}{2} =2018 \\ \\ y_{2} =\frac{2235-1801}{2} =217 \\$

(х - 1)(у - 1) = 435672
$x-1= \frac{435672}{y-1} \\ \\ x= \frac{435672}{y-1} +1 \\ \\ x_{1} = \frac{435672}{2018-1} +1=217 \\ \\ x_{2} = \frac{435672}{217-1} +1=2018 \\$

ответ: 217 2018.